Лабораторная работа 5.

Задача 1.

Жидкие продукты разливается в пакеты на линии упаковки. Затраты на подвоз 700 у.е. Совокупная потребность в этих продуктах составляет 140 000 литров в месяц. Стоимость хранения 1 литра в течение месяца составляет 4 у.е. Определить оптимальные параметры пополнения склада цеха разлива и сравнить с действующей системой разлива одного продукта в течение трех дней. Хватит ли сэкономленных денег на достойную оплату «прикладного математика»?

Математическая модель:

В отчете о решении данной задачи рассматриваются два усложнения базовой модели, а также предпринимается попытка придумать свое усложнение модели.

В математической модели данной задачи используются следующие параметры:

- спрос на товар в единицу времени.

- затраты на организацию поставки.

- затраты на хранение единицы продукции в течение единицы времени.

- размер заказа сырья.

Усложнение 1.

Пусть имеется некоторая конечная интенсивность пополнения склада , причем , то есть работа идет без дефицита.

Тогда диаграмма состояния склада будет выглядеть следующим образом:

Так как во время пополнения склада производство товара не прекращается, то для времени имеем уравнение:

Для времени аналогично модно получить:

.

Длина цикла определяется следующим образом:

Во время пополнения склада затраты на содержание сырья будут следующими:

Затраты на хранение товара за период времени составят:

Тогда издержки за один цикл составят:

Разделим на и получим издержки в единицу времени:

Найдем оптимальные значения параметров, для этого продифференцируем по :

Теперь вспомним, что в условии задачи даны некоторые данные:

.

Пусть

Тогда

Теперь увеличим скорость подвоза товара в пять раз:

Тогда

При дальнейшем увеличении скорости подвоза товара, получим значение и .

То есть получим решение исходной задачи.

При этом было замечено следующая особенность решения: издержки за один цикл не меняются независимо от того, какова скорость подвоза товара. Меняется только соотношение между издержками за время подвоза товара и издержками за время производства.

Задача2

Усложнение 2.

Учет неудовлетворенных потребностей.

Состояние склада будет выглядеть следующим образом:

Необходимо ввести новый параметр - убытки, связанные с дефицитом единицы продукции в единицу времени.

Тогда промежутки времени и определяются следующим образом:

.

Затраты на хранение сырья и поставку товара в условиях дефициты будут определяться следующим образом:

Тогда расходы на один цикл:

Разделим данное выражение на , чтобы получить издержки в единицу времени

.

Для того чтобы определить оптимальные значения и , необходимо взять две производные и приравнять их к нулю, а затем решить полученную систему уравнений.

Подставляем значение в уравнение , получаем:

Получаем следующие значения параметров:

Задача 3.

Годовая потребность машиностроительного завода в мелкосортовой стали (пруток диаметром 12 мм) составляет 300 т. В соответствии с техническими требованиями в случае необходимости пруток диаметром 12 мм может быть заменен прутком диаметром 14 мм, цена которого за тонну на 20 у.е. больше. Условно-постоянные транспортно-заготовительные расходы на один заказ равны 21 у.е., издержки по содержанию 1 т. 14 у.е. Определить оптимальный размер партии.

Воспользовавшись результатами второго усложнения модели первой задачи, можно определить оптимальный размер партии.

В данном случае параметры модели имеют следующие значения:

В результате получим следующие оптимальные значения:

Время цикла и его этапов измеряются в месяцах.

Вывод:

терять некоторое количество средств на закупке более дорогого сырья, может быть выгодно с точки зрения прибыли предприятия. Я могу объяснить это тем, что хранение на складе большой партии сырья может оказаться дороже, чем хранение меньшей партии дешевого сырья и дополнительной закупки партии более дорогого сырья.

Если, к примеру стоимость хранения сырья на складе упадет или убытки, связанные с дефицитом возрастут, то, естественно, выгоднее будет хранить на складе большую партию товара. Это легко подтверждается пересчетом интересующих нас показателей.