Материал: Для полных нубов
Горячие формулы школьного курса математики
Горячие формулы школьного курса математики
Для успешного освоения высшей математики необходимо вспомнить следующее:
I) Формулы сокращенного умножения
1) Разность квадратов a2 - b2 = (a - b)(a + b)
2) Квадрат суммы и квадрат разности |
|
|
|
! |
|||||||||||||||||
(a + b)2 = a2 |
+ 2ab + b2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
доступно |
|||||||||||||||||
(a + b)3 |
= a3 |
+ 3a2b + 3ab2 + b3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
(a |
- b) |
2 |
= a2 |
- 2ab |
+ b2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) Сумма и разность кубов: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 ) |
|
|
|
и |
|
||||||||||||||||
4) Куб суммы и разности |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
применения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.ru |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
- 3a2b + 3ab2 - b3 |
|
просто |
|
|
|||||||||||
(a - b)3 = a3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mathprofi |
|
|
|
|
|||||
Данные формулы очень часто используются в х де решения пределов, |
|||||||||||||||||||||
преобразования подынтегральных выражений, действий с комплексными числами. |
|||||||||||||||||||||
Формулы №№1-2 желательно знать наизусть и |
азу ВИДЕТЬ возможность их |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
II) Решение квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 |
|
||||||||||||||||||||
Без него далеко не уедешь. Вспоминаем, как решать. |
|
|
|||||||||||||||||||
Находим дискриминант: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
D = b2 - 4ac |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если D > 0 , то уравн ние имеет два действительных корня («школьных» числа): |
|||||||||||||||||||||
x = |
- b + |
|
|
|
, x = - b - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
D |
D |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
2a |
|
|
|
2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
математика |
|
|
|
|
|||||||||||
Если D = 0 , то уравнение имеет два совпавших действительных корня: |
|||||||||||||||||||||
x |
= x |
= |
- b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если D < 0 , то уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: |
|||||||||||||||||||||
|
= |
- b + |
|
|
, x |
= |
- b - |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
D |
D |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||
Высшая2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Критерием того, что Вы на правильном пути, является тот факт, что у Вас получился «хороший» дискриминант, допускающий целое извлечение корня, например:
© http://mathprofi.ru Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта
Горячие формулы школьного курса математики
D = 36 и 
D = 
16 = 4 , а вот D = 17 – не есть хорошо, либо Вы допустили ошибку, либо в условии задачи допущена опечатка.
Справедливым является следующее разложение квадратного трехчлена на множители:
ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 )
Решать квадратное уравнение нужно при устранении неопределенностей в пределах, при построении графика для вычисления площади фигуры, в ходе решения дифференциальных уравнений второго порядка, и еще много где.
III) Действия со степенями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доступно |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Для основания степени возьмем всеми любимую букву x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Надеюсь, что Вы помните: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
xa +b = xa × xb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(xa )b |
= xa×b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очень важно знать: b |
xa |
= x |
|
, собственно, это не действ е |
не правило, а просто |
|||||||||||||||||||||||||||
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.ru |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
просто |
|
|
|||||
две записи ОДНОГО И ТОГО ЖЕ, в таком виде (правая час ь) всегда записываются |
||||||||||||||||||||||||||||||||
радикалы (корни) в процессе нахождения производных, интегралов и т.д. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mathprofi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Не менее важно: |
|
1 |
= x- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ну и пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-- |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математика |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
7 (x + cos3x)4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
(x + cos3x) 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + cos3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Все три выражения – это одно |
то же, просто запись разная. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
IV) Действия с логариф |
ами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ln(ab) = ln a + ln b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln |
a |
= ln a - ln b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Высшая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln x |
|
|
= a ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
æ |
x - 3 ö2 |
|
|
æ |
x - 3 ö |
2 |
|
|
2 |
æ |
x - 3 ö |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
(ln( x - 3) - ln(2x |
+ 5)) |
||||||||||||||||||||
ln 3 ç |
|
|
÷ |
|
= lnç |
|
÷ |
|
|
= |
|
|
|
lnç |
|
÷ |
= |
|
|
|||||||||||||
2x + 5 |
|
|
|
|
|
|
2x + 5 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
è |
2x + 5 ø |
|
|
|
3 è |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Все четыре выражения – записи одного и того же.
Данные преобразования часто используются при нахождении производных, решении дифференциальных уравнений и т.д.
© http://mathprofi.ru Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта