Материал: Филатова 311 ТГ
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ Н. Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»
ПРОБЛЕМА СИЛЬНОЙ СВЯЗНОСТИ
РЕФЕРАТ
Студентки 3 курса 311 группы направления 02.03.02 — Фундаментальная информатика и информационные технологии факультета КНиИТ
Филатовой Ольги Владимировны
Проверил |
|
к. ф.-м. н., доцент |
М. В. Огнева |
Саратов 2020
СОДЕРЖАНИЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Теоретическая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Алгоритм Косарайю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Теоретическое обоснование алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 Алгоритм Тарьна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 Описание алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4 Алгоритм Габова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.1 Описание алгоритма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2 Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
КСС — Компонента сильной связности;
SCC — Сильно связная компонента;
3
ВВЕДЕНИЕ
Внеориентированном графе две вершины либо связаны (если существует соединяющая их цепь), либо не связаны. В ориентированном графе отношение связанности вершин несимметрично, а потому определение связности отличается.
Орграф G называется слабосвязным, если ассоциированный с ним неориентированный граф G является связным (получается замещением дуг на ребра)
Орграф G называется односторонне связным, если для любых двух его вершин vi и vj хотя бы одна достижима из другой.
Ориентированный граф D называется сильно связным, если любые две его вершины vi и vj взаимодостижимы (т.е. существуют пути из vi в vj и из vj
вvi).
Внекоторых задачах существенно требование сильной связности графа.
Например, граф, представляющий план города с односторонним движением по некоторым улицам, должен быть сильно связанным, так как, в противном случае, нашлись бы вершины (перекрестки), между которыми нельзя было бы проехать без нарушения правил движения.
4
1 Теоретическая справка
Отношение взаимной достижимости вершин орграфа рефлексивно, симметрично и транзитивно. Как отношение эквивалентности оно разбивает множество вершин орграфа на классы эквивалентности, объединяя в один класс все вершины, достижимые друг из друга. Вершины, входящие в такие классы, вместе с дугами, им инцидентными, обе концевые вершины которых принадлежат этому же классу, образуют подграфы, называемые сильными (или сильносвязнными) компонентами орграфа. [1]
Сильно связными компонентами орграфа называются его максимальные по включению сильно связные подграфы.
Рисунок 1 – Пример ориентированного графа с тремя компонентами сильной связности
Каждая вершина орграфа принадлежит только одной компоненте сильной связности. Если вершина не связана с другими, то она сама образует компоненту сильной связности. [2]
Например в графе, приведенном на Рис. 2 подграф fx1; x4; x5; x6g является КСС графа. С другой стороны подграфы fx1; x6g fx1; x5; x6g не являются сильными компонентами(хотя и являются сильными подграфами), поскольку они содержатся в подграфе fx1; x4; x5; x6g и следовательно не максимальные.
Граф называется сильно связным, если имеет только одну сильно связную компоненту.
Орграф, не принадлежащий к классу сильно связных графов, содержит некоторый набор сильно связных компонент, и некоторый набор ориентированных ребер, идущих от одной компоненты к другой.
Любая вершина орграфа сильно связана сама с собой. [3] Конденсацией G орграфа G (фактор-графом) называется орграф, кото-
5