Дипломная работа: Количественный рекуррентный анализ в обнаружении экстремальных событий

Состояние динамической системы в определенный промежуток времени характеризуется значениями всех переменных в данный момент времени. Из этого следует, что состояние подобных систем описывается n переменными, которые в момент времени t могут отображаться в виде точки в n-мерном пространстве. Это пространство в терминологии области теории хаоса называется - фазовое.

Динамика в свою очередь представляет из себя определенный набор законов или уравнений, что описывают изменения состояния системы с изменениями параметров времени t. Набор правил состоит из системы связанных между собой дифференциальных уравнений, где каждое уравнение характеризует зависимость одной из n-переменных. Динамика системы является набором определенных состояний в своем фазовом пространстве. Линия, поочередно соединяющая все состояния системы в пространстве, является траекторией системы.

Большое количество явлений в природе можно описывать с использованием подобного подхода. К примеру, проценты от вкладов на накопительные счета в банке или динамика численности населения Земли. Природные явления такие как, изменения климата, магнитные всплески на солнце, планетарные явления, химические реакции все это и не только может быть представлено в виде динамической системы. Несмотря на то, что объекты и процессы по своему определению различны, они все могут быть интерпретированы, как система, что подчиняется определенному набору правил, что определяет ее состояние и динамику в определенный интервал времени.

Динамические системы, с точки зрения комплексности разделяются со стороны линейности на линейные и нелинейные, со стороны характерности рассматриваемого процесса на стохастические и детерминистские, а также со стороны структуры диссипативные и консервативные. Динамическая система называется линейной в случае, если все уравнения, что описывают ее динамику линейны. В линейной системе наблюдаются линейные зависимости, однако для нелинейных систем наличие резких и глобальных изменений является характерным явлением. Иными словами, можно сказать, что главным отличием между ними заключается в наличии возможности сохранения основных показателей среды. Например, если энергия обменивается с окружающей средой, то возникает диссипативная система. Наконец, если система содержит определенное количество шума, то этот процесс называется стохастическим, в противном случае он является детерминированным.

Важнейшим свойством диссипативных систем является исследование на протяжении длительного периода времени позволяет наблюдать сходимость траекторий имеющегося фазового пространства в конкретное подпространство. Подпространство определено геометрической фигурой, название которой - аттрактор системы. Название аттрактор происходит от англ. - attract, что в переводе означает - притягивать. Его свойство заключается в притягивании траекторий всех возможных начальных состояний. В пример можно привести аттрактор Лоренца (см. Рис. 1), который был открыт в 1963 году Эдвардом Лоренцом в результате анализа системы трех нелинейных дифференциальных уравнений, что интерпретировали упрощенную модель атмосферы. Аттрактор по своей сути представляет из себя фрактальную форму, которая состоит из бесконечного количества траекторий нелинейной динамической системы. Из-за свойств фрактальной геометрии все траектории вне зависимости от начальных условий будут расположены бесконечно близко между собой, но никогда не будут пересекаться.

В линейной диссипативной системе может существовать один тип аттрактора - точечный аттрактор или, другими словами, точка в фазовом пространстве. Значимость точки заключается в том, что наличие ее в системе будет сводить ее к устойчивому состоянию. В системе не будет происходить никаких изменений, пока не будет воздействия на систему извне. В свою очередь нелинейные диссипативные системы предоставляют более интересные формы аттракторов.

Также в природе существуют другие типы аттракторов (см. Рис. 2)

· Предельные циклы - Полный набор итераций в фазовом пространстве, в которых свойственна периодическая динамика.

· Nt-top - аттрактор «пончиковидной» структуры, которому свойственна квазипериодическая динамика. Этот тип динамики является наложением различных динамик с безграничными частотами

Хаотические - также у них есть название «странные» аттракторы, которое получили благодаря своей странной структуре в рамках фрактальной геометрии. Динамика, описываемая подобным аттрактором, является не чем иным как детерминированным хаосом, что говорит об определенности и случайности одновременно.

Несмотря на определенность процессов, системы с наличием хаоса прогнозируются лишь в краткосрочном периоде. Динамика в системе с учетом ее полной детерминированности никогда не повторит одного и то же состояние. Это вызывает парадокс, связанный с фрактальной структурой аттрактора.

1.1.3 Рекуррентный график

Рекуррентный график (Recurrence plot «RP», англ.) или, другими словами, фазовый портрет - продвинутый метод анализа нелинейных динамических систем. Этот вид визуализации данных представляет собой график или иной вид визуализации квадратной матрицы, где элементы данной матрицы соответствуют временам, в которые возвращаются состояния динамической системы (строки и столбцы соответствуют определенному состоянию). Способ рекуррентных графиков (диаграмм) позволяет обнаружить все состояния времени, когда траектория фазового пространства динамической системы достигает примерно одной и той же области в фазовом пространстве.

Эркман в соавторстве с другими исследователями (1987) представили инструмент для визуализации рекуррентного поведения траектории фазового пространства из динамических систем, который можно выразить математически:

В основном они содержат отдельные точки и линии, параллельные средней диагонали (линия идентичности, LOI) или вертикальные / горизонтальные. Линии, параллельные LOI, называются диагональными линиями, а вертикальные структуры являются вертикальными. Поскольку RP обычно симметричны, горизонтальные и вертикальные линии соответствуют друг другу, и поэтому рассматриваются только вертикальные линии. Линии представляют типичное поведение траектории фазового пространства: тогда как диагональные линии представляют те сегменты траектории фазового пространства, которые проходят параллельно в течение некоторого времени, вертикальные линии представляют сегменты, которые остаются в той же области фазового пространства в течение времени.

Если доступен только временной ряд, фазовое пространство может быть реконструировано с использованием временной задержки:

где u(i) -- это временной ряд, m - размер вложения и ф - задержка

1.1.4 Структуры рекуррентных диаграмм

Поскольку первостепенная цель рекуррентных диаграмм состоит в том, чтобы визуально обозревать траектории фазового пространства больших размеров, следовательно они могут помочь в распознавании развития траекторий во времени.

Рекуррентные диаграммы показывают характерные крупномасштабные и мелкомасштабные образцы. Первые были определены Эркманом в соавторстве с другими исследователями в 1987 году как типология, а вторые в качестве текстуры. Типология предполагала общее представление структур, которое характеризовалась как: однородная, периодическая, дрейфующая и разрушенная (см. Рис. 3)

Рисунок 3 виды структур рекуррентных диаграмм

В более детальном рассмотрении рекуррентных диаграмм можно обнаружить мелкомасштабные структуры, иными словами текстуры, которые представляют из себя отдельные точки, диагональные линии, вертикальные и горизонтальные линии. Последние два представляют в комбинации образуют прямоугольные группы рекуррентных точек.

· Единичные. В случае структуры однородной рекуррентной диаграммы возникновение изолированных рекуррентных точек происходит редко, если они не сохраняются в течение какого-то времени или если колебания этих точек слишком сильное.

· Диагональная линия.

Для k = 1, …, l, где l - длина диагональной линии.

Возникает, когда сегмент траектории проходит параллельно другому сегменту, то есть траектория проходит в одну и ту же область фазового пространства в разное время. Длина диагональной линии определяется продолжительностью подобного развития локального развития сегментов траектории. Направление этих диагональных структур может отличаться в зависимости от данных, преобразованных из временного ряда. Диагональные линии LOI представляет собой параллельный ход траекторий для одного и того же временного преобразования. Диагональные структуры перпендикулярные LOI, характеризуют параллельный ход с противоположными временами. Если образовались зеркальные сегменты, то это может послужить сигналом тому, что процесс реконструкции (об этом позже) был неправильно реализован. Поскольку в определении показателя Ляпунова используется время параллельного прохождения траекторий, что дает очевидную взаимосвязь между показателем Ляпунова и диагональными линиями.

· Горизонтальная (вертикальная линия)

Для k = 1, …, v, где v - длина вертикальной(горизонтальной) линии.

Отмечает временной промежуток, в котором состояние остается неизменным или изменяется медленно. Характерно для динамических систем, в которых происходит прерывистое чередование фаз.

На основе данной информации можно качественно определять интерпретированные рекуррентные графики, что позволит проанализировать полученные диаграммы во второй главе, где будет рассмотрена прикладная реализация методологий построения рекуррентных диаграмм из соответствующего временного ряда (см. Табл. 1).

Таблица 1

1.1.5 Реконструкция пространства состояний

Чтобы построить рекуррентный график из временного ряда необходимо реконструировать динамику временного ряда в новом пространстве. Результатом реконструкции пространства является встроенное пространство. Это способ перейти от пространства временного ряда к пространству состояний, что в топологическом смысле схож с тем, что лежит в основе динамической системы. Если уравнения системы неизвестны, и невозможно измерить все переменные, то пространство реального состояния системы недоступно.

Однако, по теореме Такенса (Takens, 1981) можно восстановить взаимно-однозначное соответствие между реконструированным пространством состояний и оригиналом. Восстановленное пространство может быть получено, используя отсроченные версии временных рядов определенное количество раз. Число смещенных рядов с временной задержкой t называется размерностью вложения d_e. В пространстве вложения многие инварианты динамики сохраняются (Marwan, N. и соавторы, 2007).

Для оценки задержки по времени t и измерения встраивания предложено множество различных подходов (Сао, 1997). Наиболее распространенными методами, для вычисления задержки по времени:

· Первый ноль функции автокорреляции

· Первый минимум функции взаимной информации

Первый минимум взаимной информации - задержка, позволяющая обеспечить достаточную независимость между различными переводами временного ряда, но не настолько независимую, чтобы вовсе не иметь никакой связи. Обычно задержка, заданная функцией взаимной информации, меньше задержки, заданной первым нулем функции автокорреляции.

1.1.6 Количественный рекуррентный анализ

Recurrence Quantification Analysis, англ., RQA - это метод анализа данных нелинейных систем для исследования динамических систем. Нелинейная система представляет собой систему, имеющую не пропорциональные характеристики выходящих и входящих сигналов. Как правило особый интерес к таким системам уделяют специалисты различных областей, в частности специалисты инженерных наук, биологии, физики, математики и многих других, поскольку большинство систем по своей природе нелинейны.

Количественный рекуррентный анализ был разработан для количественной оценки различных фазовых портретов (Recurrence Plot, англ., RP), основанных на мелкомасштабных структурах внутри них.

RQA количественно определяет мелкомасштабные структуры рекуррентных графиков, которые представляют количество и продолжительность рецидивов динамической системы. Меры, введенные для RQA, были разработаны эвристически между 1992 и 2002 годами (Zbilut & Webber 1992; Webber & Zbilut 1994; Marwan et al. 2002). Они же на самом деле меры сложности. Основным преимуществом анализа количественной повторяемости является то, что он может предоставить полезную информацию даже для коротких и нестационарных данных, когда другие методы не дают результатов.