Материал: курсова ТПСПП_11111111111

3 Фрактали

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал було введено в 1975 році Бенуа Мандельбротом.

Історія

Сніжинка Коха є межею нескінченної конструкції, що починається з трикутника та доповнюється рекурсивною заміною кожного сегменту набором із чотирьох сегментів, які утворюють трикутний «виступ». Щоразу, коли додаються нові трикутники (при ітерації), периметр фігури зростає на третину й тому прямує до нескінченності, коли кількість ітерацій прямує до нескінченності. Довжина межі сніжинки Коха, таким чином, є нескінченною, а її площа — скінченною.

Об'єкти, які тепер називаються фракталами, досліджувались задовго до того, як їм було дано таку назву. В етноматематиці, наприклад в роботах Рона Еглаша «Африканські Фрактали», (ISBN 0-8135-2613-2) задокументовано поширені фрактальні геометричні фігури в мистецтві тубільців. В 1525 році німецький митець Альбрехт Дюрер опублікував свою працю Керівництво Художника, один із розділів якої має назву «Черепичні

шаблони, утвореніпентагонами». Пентагон Дюрера багато в чому є схожим на килим Серпінського, але замість квадратів використовуються п'ятикутники. Джексон Поллок (американський експресіоніст 50-тих років) малював об'єкти, дуже схожі на фрактали.

Ідею «рекурсивної самоподібності» було висунено філософом Лейбніцом, який також розробив багато з деталей цієї ідеї. В 1872 Карл Веєрштрас побудував приклад функції з неінтуітивною особливістю, скрізь неперервної, але ніде недиференційовної — графік цієї функції тепер би називався фракталом. В 1904 Хельга Фон Кох, незадоволений занадто абстрактним та аналітичним означенням Веєрштраса, розробив більш геометричне означення схожої функції, яка тепер має назву сніжинки Коха. Ідею самоподібних кривих було далі розвинено Полєм П'єром Леві, який у своїй роботі Криві та поверхні на площині та у просторі, які складаються із частин, схожих на ціле, виданій 1938 року, описав нову фрактальну криву, відому тепер як Крива Леві.

В 1960-их роках, Бенуа Мандельброт почав дослідження самоподібності в своїх роботах, наприклад Яка довжина узбережжя Британії? Статистична самоподібність та дробова розмірність. Ця доповідь базувалась на ранніх роботах Луі Фрая Річардсона. В 1975 році Мандельброт використав слово фрактал як назву для об'єктів, розмірність Хаусдорфа яких є більшою за топологічну розмірність. Він проілюстрував своє математичне означення захоплюючими зображеннями, зробленими за допомогою комп'ютера. Ці зображення привернули велику увагу; багато з них базувалися на рекурсії, що призвело до появи поширеного розуміння слова фрактал.

Приклади

Множина Жюліа, фрактал, близький до множини Мандельброта.

Приклад анімованого фрактала.

Порівняно простий клас прикладів становлять множини Кантора, в яких короткі та ще коротші (відкриті) інтервали вилучаються з одиничного інтервалу [0; 1], залишаючи множину, яка, можливо, буде (або не буде) самоподібною при збільшенні й, можливо, матиме (або не матиме) розмірність Хаусдорфа d таку, що 0 < d < 1. Простий приклад, такий як вилучення цифри 7 із десяткового подання, є самоподібним при 10-разовому збільшенні, має розмірність Хаусдорфа log 9/log 10 та показує зв'язок між двома концепціями. Для порівняння: топологічна розмірність довільної множини Кантора дорівнює 0, й тому всі множини Кантора є фракталами.

Також до прикладів фракталів належить фрактал Ляпунова, трикутник Серпінського, килим Серпінського, губка Менгера, крива дракона, крива заповнення простору, межі множин груп Кліні та крива Коха. Фрактали можуть бути детермінованими або ст охастичними (наприклад, недетермінованими).

Хаотичні динамічні системи іноді асоціюються з фракталами. Об'єкти в просторі параметрів родини систем також можуть бути фракталами. Цікавим прикладом є множина Мандельброта.

Ця множина містить цілі диски, тому її розмірність Хаусдорфа дорівнює топологічній розмірності, яка дорівнює 2, і вона формально не є фракталом — але що насправді є дивним, це те, що розмірність Хаусдорфа межі множини Мандельброта також дорівнює 2 (а топологічна розмірність дорівнює 1). Це було доведено М. Шішікурою 1991 року.

Фрактальна розмірність межі кривої Коха

Наведений нижче аналіз Сніжинки Коха є прикладом того, як самоподібність може використовуватись для аналізу властивостей фракталу.

Загальна довжина N малих сходинок L дорівнює добуткові NL. При застосуванні до сніжинки Коха отримуємо невизначене число, коли L прямує до 0. Але таке означення не є задовільним, оскільки різні криві Коха мають різні розміри. Вихід полягає в тому, щоб вимірювати ані в метрах (m), ані в квадратних метрах (m²), але в деякому іншому ступені метра, m^x. Тепер 4N(L/3)^x = NL^x, оскільки втричі коротший відрізок потребує в 4 рази більше відрізків, як це видно з малюнку. Єдиним розв'язком цього рівняння є x = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26186. Тому, одиниця вимірювання довжини межі сніжинки Коха дорівнює приблизно m^1.26186.

Генерування фракталів

Навіть збільшення в 2000 разів розкриває деталі множини Мандельброта, які відтворюють всю множину.

4 Застосування фракталів

Генерація зображень природних об'єктів

Геометричні фрактали застосовуються для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній тощо. Алгебричні та стохастичні — для побудови ландшафтів, поверхні морів, моделей біологічних та інших об'єктів.

Механіка рідин

Фракталами добре описуються такі процеси та явища, що стосуються механіки рідин і газів:

• динаміка та турбулентність складних потоків;

• моделювання полум'я;

• пористі матеріали, у тому числі в нафтохімії.

Біологія

• Моделювання популяцій;

• біосенсорні взаємодії;

• процеси всередині організму, наприклад, биття серця.

Фрактальні антени

Фрактальну геометрію для проектування антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будинках. Натан вирізав з алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха та наклеїв її на аркуш паперу, а потім приєднав до приймача. Виявилось, що така антена працює не гірше за звичайну. Й хоча фізичні принципи роботи

такої антени не вивчено досі, це не завадило Коену заснувати власну компанію й налагодити їхній серійний випуск.

Стиснення зображень

За допомогою фракталів можна стискати великі растрові зображення до частин їхніх нормальних розмірів. Це твердження випливає з теореми Банаха про стискуючі перетворення й є результатом роботи дослідника Технологічного інституту шт. Джорджія Майкла Барнслі.

Децентралізовані мережі

Система призначення IP-адрес в мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного зберігання інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku тримає лише 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол під'єднується до загальної мережі без необхідності в центральному регулюванні роздавання IP-адрес, що, наприклад, є характерним для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення гарантує повністю децентралізовану, а отже, максимально стійку роботу всієї мережі.

5 Дракон Хартера-Хейтуея(драконова ломана)

Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D менша, ніж розмірність d того простору, в якому знаходиться цей фрактальний об'єкт. Нерівність D < d відбиває факт некомпактності фрактала, причому чим більше розрізняються величини D і d, тим більше рихлим є фрактал.

Існують фрактали, які щільно заповнюють простір, в якому вони знаходяться, так що їх фрактальна розмірність D = d. Одним з прикладів такого роду є криві Пеано (Peano curves). Дракон Хартера-Хейтуэя є прикладом кривої Пеано, для якої область, яку вона заповнює на площині, має химерну форму. Перші чотири кроки його побудови представлено на мал. 3.2.

Малюнок 3.2 - Перші чотири кроки побудови дракона Хартера-Хейтуэя.

Як випливає з мал. 3.2 кожен з відрізків прямої на наступному кроці замінюється на два відрізки, що утворюють бічні сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого початковий відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрям прогину чергується. Перший відрізок прогинається управо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову управо і так далі. На мал.3.2 пунктиром показана конфігурація попереднього кроку. Таким чином, після кожного кроку число наявних відрізків подвоюється, а довжина кожного відповідно зменшується в раз. Тому фрактальна розмірність утворюється в результаті (після нескінченного числа кроків) кривої рівна 2. [2, стор. 28-29].

Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти до комплексних чисел ZA, ZB і ZC (мал. 3.3).Малюнок 3.3 - Представлення в комплексних числах

Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа в тригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами (3.1) - (3.8).

                                                      (3.1)                                                                                                (3.2)                                                                  (3.3)                                (3.4)                                       (3.5)        (3.6)                                                                     (3.7)                                                                    (3.8)

Коротко метод можна описати таким чином. Зображення кодується кількома простими перетвореннями (в нашому випадкові афінними), тобто визначається коефіцієнтами цих перетворень (в нашому випадкові: A, B, C, D, E та F).

Наприклад, закодувавши якесь зображення двома афінними перетвореннями, ми однозначно визначаємо його за допомогою 12 коефіцієнтів. Якщо тепер задати яку-небудь початкову точку (наприклад, X = 0, Y = 0) та запустити ітераційний процес, то ми після першої ітерації отримаємо дві точки, після другої — чотири, після третьої — вісім і т. д. Через кілька десятків ітерацій сукупність отриманих точок описуватиме закодоване зображення. Але проблема полягає в тому, що дуже важко знайти коефіцієнти перетворень, які кодували б довільне зображення.

Не зважаючи на те, що було створено програмне забезпечення, що реалізує ці алгоритми (наприклад, бібліотеки фрактального стиснення використовуються в Microsoft Encarta), досить ефективного методу не було знайдено досі, а сам Майкл Барнслі продовжує працювати в даному напрямкові.