Материал: лаба5чмриз

Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВО

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ОТЧЕТ

По лабораторной работе №5

На тему :«Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.»

Вариант 9

Отчет сдал ___Корнаухова_Д.А_____

Ст.гр_____БТПп-16-01________

Отчет принял______ _Юлдыбаев Л.Х.._____

Уфа 2017

Задание. С точностью найти глобальный минимум функции одной переменной методами дихотомии, «золотого сечения» и Ньютона. Значения границ интервала поиска задать из условия унимодальности функции в области глобального минимума (определить визуально, нарисовав для этого график функции).Сделать выводы о скорости сходимости рассмотренных методов минимизации функции.

Решение. График функции имеет вид:

5.1 Поиск минимума методом дихотомии

1) Первые два приближения возьмем на расстоянии от середины выбранного отрезка :

; .

Так как , то нужно выполнить следующее приближение.

Значения функции в этих точках

;

Так как , то правый отрезок отбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .

Итак, перед второй итерацией считаем, что .

2) Вторые два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :

.

Так как , то нужно выполнить следующее приближение.

Значения функции в этих точках

Так как , то левый отрезок отбрасываем, т.е. считаем, что минимум функции находится на отрезке .

Итак, перед третьей итерацией считаем, что .

3) Третьи два приближения возьмем на расстоянии от середины отрезка :

; .

Так как , то нужно выполнить следующее приближение.

Значения функции в этих точках

Итак, ; число приближений .

Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом дихотомии, выполненные с помощью компьютерной программы.

5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»

1) Находим первые два приближения по формулам:

, где - пропорция «золотого сечения».

Для отрезка имеем

Так как и , то правый отрезок отбрасываем и считаем, что , а не меняется.

Так как , то нужно выполнить следующее приближение.

2) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок , причем точка уже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле

Так как , а , то левый отрезок отбрасываем и считаем, что , а не меняется.

Так как , то нужно выполнить следующее приближение.

3) Теперь по правилу «золотого сечения» делим отрезок , причем точка уже находится внутри этого отрезка, а точку ищем как точку, симметричную точке относительно середины отрезка , т.е. по формуле

Итак, ; число приближений .

Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом «золотого сечения», выполненные с помощью компьютерной программы.

5.3 Поиск минимума методом Ньютона

Для метода Ньютона нужно задать начальное приближение из условия

, иначе процесс сходимости не гарантирован.

Если , то и .

Если , то и .

Следовательно,в качестве начального приближения следует выбрать .

1) Находим первое приближение по формуле

;

Так как , то требуется второе приближение.

2) Находим второе приближение по формуле

Так как , то требуется третье приближение.

3) Находим третье приближение по формуле

Итак, ; число приближений .

Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом Ньютона, выполненные с помощью компьютерной программы.

Результаты всех расчетов сведем в таблицу:

Выводы: При поиске минимума функции на отрезке самым быстрым оказался метод Ньютона (4 приближения).