Материал: лр1

Лабораторна робота №1

Побудова математичних моделей статичних, стохастичних об’єктів управління методом найменших квадратів Мета роботи: Освоїти методику проведення пасивного експерименту та обробки експериментальних даних за методом найменших квадратів.

Задача № 3.

n1=1; n2=2

Досліджувався теплообмінник за допомогою пасивного експерименту. Вхідною величиною об’єкта X є витрата теплоносія (кг /с), вихідною величиною Y - температура (⁰С).

Таблиця 6.

N1=0 на нуль множити не будемо, бо всі значення будуть дорівнювати нулю. N2=6 Дані в таблиці зміняться і для даного варіанту таблиця буде такою:

Побудувати кореляційне поле. Отримати оцінки параметрів лінійної математичної моделі (a_0, a₁)

y = a₀ + a_1*x₁;

методом найменших квадратів; визначити значення критерію. Задачу вирішити двома способами: методами класичного аналізу та математичного програмування (програма “MNK1.BAS”).

Розв’язок.

Всі обчислення згідно наведених нижче формул виконуємо з допомогою програмного засобу Microsoft Excel

Для рішення цієї задачі потрібно за формулами (1) та (2) знайти коефіцієнти а₀ і а₁:

Одержуємо оцінку параметрів лінійної математичної моделі:

і т.д.

Результати обчислень заносимо в таблицю:

По результатам обчислень будуємо кореляційне поле

При обчисленні даних на ЕОМ ми знайшли коефіцієнти

які співпадали з нашими розрахунковими коефіцієнтами.

Висновок: порівнявши розрахункові і експериментальні дані можна сказати, що модель адекватна.

(значення критерію)

Контрольні запитання

1. Що таке експеримент і чому він полягає?

Експеримент – це особливий вид діяльності дослідника, який він здійснює з метою пізнання (відкриття) певних властивостей об’єктів або систем та закономірностей які їх пов’язують між собою.

При проведенні експерименту дослідник діє на об’єкт з допомогою спеціальних методів, інструментів або приладів і може планомірно змінювати умови, які необхідні для отримання результатів.

Якщо спостерігач розглядає явище ззовні, то експериментатор заглиблюється в середину і розглядає суть явища. Експерименти поділяють на натурні та модельні, активні та пасивні.

2. Дайте визначення поняттю ідентифікації об’єктів управління

Ідентифікація — це процес побудови математичних моделей за експериментальними даними, а також на основі деякої апріорної інформації з точністю, яка задовольняє вибраному критерію ідентифікації.

Задача ідентифікації характеризується в загальному таким чином: за результатами спостережень за вхідними та вихідними змінними об’єкта побудувати оптимальну в деякому розумінні модель об’єкта.

Задачею ідентифікації в математичному розумінні є визначення математичного оператора моделі Fм , який оптимальним чином перетворює вхідну інформацію на вихідну, задовольняючи вибраним критеріям ідентифікації.

3. Що передбачає методика проведення пасивного експерименту?

Пасивний експеримент передбачає вимірювання змінних об’єкта без втручання в його роботу, тобто в режимі нормального функціонування об’єкта.

4. Поясніть алгоритм методу найменших квадратів.

Сутність методу (звичайного) методу найменших квадратів (МНК) полягає у знаходженні таких значень матриці параметрів А моделі , при яких сума квадратів залишків й була б мінімальною. Мінімізуя суму квадратів залишків й шляхом знаходження першої похідної за складовими, можна знайти оцінки для теоретичної моделі.

У ряді випадків при вирішенні економічних задач необхідно встановити теоретичну (аналітичну) залежність на підставі фактичних спостережень. Результати їх можуть бути наведені у таблиці для пар значень змінних: . Проаналізуємо, який вид кривої краще підійде для апроксимації емпіричних (фактичних) даних. У спрощеному випадку це може бути пряма, з кривих - парабола, гіпербола, степенна залежність та ін.

Припустимо, що для даного розподілення емпірично отриманих точок вибраний вид залежності у вигляді безперервної лінії між точками. Функцію описують параметри аі , знайшовши які можна получити рівняння апроксимуючої лінії. Наприклад, рівняння прямої задаються у вигляді , рівняння параболи - тощо.

Відхилення ординат теоретичної лінії у від емпіричних даних у,- при тих же абсцисах відповідають різниці (при і=1...n). Чим менші ці різниці, тим краще вибрана теоретична лінія буде апроксимувати емпіричні дані.

Французьким математиком Лежандром у XIX ст. запропоновано в якості міри відхилення точок А від апроксимуючої теоретичної лінії брати мінімальну суму S квадратів відхилення їх ординат від теоретичних значень y:

З цього і назва методу - метод найменших квадратів (або скорочено МНК).

4. Поясніть поняття про структуру та параметри математичної моделі

Математична модель являє собою сукупність математичних формул, рівнянь, співвідношень, які дають можливість визначити характеристики об’єкта, а також його функціонування, наприклад, в часових та просторових координатах.

Аналітичні моделі являють собою деякі функціональні співвідношення у вигляді алгебраїчних, інтегральних, диференціальних рівнянь чи логічних умов та переходів. Аналітичні моделі для відображення властивостей об’єкта чи його функціонування повинні бути розв’язані; для цього використовують методи якісного та кількісного розв’язання цих залежностей. Наприклад, метод Ейлера чи Рунге – Кута при розв’язанні диференціальних рівнянь.

Комбіноване моделювання полягає у аналітичному визначенні чи неформальному (еврістичному) визначенні структури моделі, типу математичної моделі, наприклад, лінійна, нелінійна модель. А параметри математичної моделі в рамках визначення структури отримують у результаті обробки експериментальних даних, тобто у випадку комбінованого моделювання використовується апріорна інформація (до експерименту) та інформація, отримана в результаті експерименту (апостеріорна).