Реферат: Метод наименьших квадратов

Собственно говоря, в этом и состоит дисперсионный анализ.

Взвешенный МНК

До сих пор явно или неявно предполагалось, что дисперсия погрешностей , т.е.  постоянная величина. Однако, это сильная идеализация. В примере с кривой вращения галактики выражение для лучевой компоненты скорости имеет вид: . Уже из этого выражения ясно, что чем дальше от нас отстоит звезда, тем больше будет погрешность в измерении скорости. Следовательно, надо это каким-то образом учесть.

Другой пример. Часто измерения на графике приводят погрешностями - барами.

Из этого рисунка видно, что некоторые значения имеют большую ошибку, некоторые - маленькую. Это значит, что те, которые имеют маленькую ошибку, должны иметь больший вес, чем те, которые имеют большую ошибку.

Как учесть эту ошибку в МНК? Если результаты измерений представлены с ошибками, как это показано на последнем рисунке, то поступать следует таким образом.

Допустим, что разброс (или среднеквадратичное отклонение) и-того измерения есть . Введем вес : , где  пока неизвестная величина.

Вместо отклонения измерений от регрессии  введем новое  так, что:

.

Ясно, что дисперсия и-того измерения будет: .

Далее, составляем невязку относительно .

.

И минимизируем ее.

В примере с кривой вращения можно поступить так. Из структуры формулы можно высказать предположение: . Тогда в качестве веса берем: , делаем замену переменных, вводим новую невязку, находим минимум.

Литература

1. Битнер, Г.Г. Теория вероятностей: Учебное пособие / Г.Г. Битнер. - Рн/Д: Феникс, 2012. - 329 c.

. Большакова, Л.В. Теория вероятностей для экономистов: Учебное пособие / Л.В. Большакова. - М.: ФиС, 2009. - 208 c.

. Горлач, Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Б.А. Горлач. - СПб.: Лань, 2013. - 320 c.

. Калинина, В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для бакалавров / В.Н. Калинина. - М.: Юрайт, 2013. - 472 c.

. Климов, Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика / Г.П. Климов. - М.: МГУ, 2011. - 368 c.

. Колемаев, В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. - М.: КноРус, 2013. - 376 c.

. Колесников, А.Н. Теория вероятностей в финансах и страховании / А.Н. Колесников. - М.: Анкил, 2008. - 256 c.

. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: Учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. - М.: Форум, 2011. - 480 c.

. Кочетков, Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. - М.: Форум, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 240 c.

. Краснов, М.Л. Вся высшая математика. Т. 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр: Учебник / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко [и др.]. - М.: ЛКИ, 2013. - 296 c.

. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 551 c.

. Лебедев, А.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие / Л.Н. Фадеева, А.В. Лебедев; Под ред. проф. Л.Н. Фадеева. - М.: Рид Групп, 2011. - 496 c.

. Лунгу, К.Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс: С контрольными работами: Ряды и интегралы. Векторный и комплексный анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Операционное исчисление / К.Н. Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный; Под ред. С.Н. - М.: Айрис-пресс, 2011. - 592 c.

. Мхитарян, В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов учреждений высшего профессионального образования / В.С. Мхитарян, В.Ф. Шишов, А.Ю. Козлов. - М.: ИЦ Академия, 2012. - 416 c.