Реферат: Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка
Интегрируя левую и правую части по x, получим:
. (*)
Чтобы найти φ(y),
используем тот факт, что
, т.е.
,
откуда
,
.
Подставляя найденное значение φ(y) в (*),
окончательно получим функцию U(x,y):
,
Общий интеграл исходного уравнения
имеет вид
. (20)
Основные типы дифференциальных
уравнений первого порядка (продолжение).
. Линейные дифференциальные
уравнения
Определение: Линейным уравнением
первого порядка называется уравнение вида
y’ + P(x)y = f(x), (21)
где P(x) и f(x) - непрерывные функции.
Название уравнения объясняется тем, что производная y’ - линейная функция от у, то есть если переписать уравнение (21) в виде y’ = - P(x) +f(x), то правая часть содержит у только в первой степени.
Если f(x) = 0, то уравнение
y΄+ P(x)∙y
= 0 (22)
называется линейным однородным
уравнением. Очевидно, что однородное линейное уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными:
y’ +P(x)y = 0; 
,
. (22*)
Если f(x) ≠ 0, то уравнение
y΄+ P(x) y = f(x)
(23)
называется линейным неоднородным уравнением.
В общем случае переменные в уравнении (21) разделить нельзя.
Уравнение (21) решается следующим
образом: будем искать решение в виде произведения двух функций U(x) и V(x):
y = U×V. (24)
Найдем производную:
y’ = U’V + UV’ (25)
и подставим эти выражения в
уравнение (1):
U’V + UV’ +
P(x)UV = f(x).
Сгруппируем слагаемые в левой части:
U’V + U[V’ +
P(x)V] = f(x). (26)
Наложим условие на один из
множителей (24), а именно, предположим, что функция V(x) такова,
что она обращает в тождественный нуль выражение, стоящее в квадратных скобках в
(26), т.е. что она является решением дифференциального уравнения
V’ + P(x)V = 0. (27)
Это уравнение с разделяющимися
переменными, находим из него V(x):
; 
; 
;
. (28)
Теперь найдем функцию U(x) такую,
чтобы при уже найденной функции V(x)
произведение U∙V было
решением уравнения (26). Для этого надо, чтобы U(x) была
решением уравнения
. (29)
Это уравнение с разделяющимися
переменными, поэтому
;
. (30)
Подставляя найденные функции (28) и
(30) в формулу (4), получаем общее решение уравнения (21):
. (31)
Таким образом, рассмотренный метод (способ Бернулли) сводит решение линейного уравнения (21) к решению двух уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 6. Найти общий интеграл
уравнения 
.
Это уравнение не является линейным
относительно y и y’, но оно
оказывается линейным, если считать искомой функцией x, а
аргументом y.
Действительно, переходя к 
, получаем
, или 
.
Для решения полученного уравнения
воспользуемся способом подстановки (Бернулли). Будем искать решение уравнения в
виде x(y)=U(y)V(y), тогда 
. Получаем
уравнение:
, или
. (*)
Выберем функцию V(y) так, чтобы
. Тогда
или 
.
Подставляя найденное значение V в (*),
найдем:
.
Другим методом интегрирования линейных уравнений является метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
Будем искать решение уравнения (23)
в том же виде, что и общее решение (22*) соответствующего однородного уравнения
(22), но будем считать С не постоянной, а некоторой непрерывно дифференцируемой
функцией от x, т.е.
положим
(32)
и выберем функцию C(x) так, чтобы
(32) удовлетворяло уравнению (21). Подставляем (32) в (21):
,
откуда:
.
Следовательно,
,
где С - произвольная постоянная.
Подставляя эти значения C(x) в формулу
(32), получим:
.
Это и есть общее решение уравнения (21).
Пример 7. Найти общее решение
уравнения 
.
Применяем метод вариации
произвольной постоянной. Решаем сначала уравнение
откуда
.
Ищем общее решение данного
неоднородного уравнения в виде 
(*). Находим производную 
.
Подставляем y и y’ в исходное
уравнение:
, или
.
Подставляя это значение C(x) в формулу
(*), получим
- общее решение дифференциального
уравнения.
Линейное уравнение (21) не имеет
особых решений. Действительно, из самого вывода формулы (32) видно, что в ней
содержатся все решения уравнения.
. Дифференциальные уравнения
Бернулли
Определение: Уравнение вида y’ + P(x)y = Q(x)ym, где m ¹ 0, m ¹ 1, называется дифференциальным уравнением Бернулли.
Уравнения данного вида подстановкой z = y1-m можно свести
к линейному уравнению, однако проще для интегрирования уравнения Бернулли сразу
воспользоваться подстановкой y = UV.
Литература
1. С.Я. Казанцева Математика для юридических специальностей. - М. Академия, 2011
2. Атурин В.В. Высшая математика. - М.: Академия, 2010
. Баврин И.И. Высшая математика. - М.: Академия, 2010
. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа. - СПб.: Лань, 2010
. Бирман М.Ш. Избранные труды. - Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2010
. Бурмистрова Е.Б. Математический анализ и дифференциальные уравнения. - М.: Академия, 2010
. Козлов Н.Н. Математический анализ генетического кода. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010
. Олейник О.А. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. - М.: Московский университет, 2010
. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Бычков Ю.А. Хаос в динамических системах. - СПб.: Технолит, 2009
. Ильин А.М. Асимптотические методы в анализе. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Капцов О.В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009
. Красс М.С. Математика для экономистов. - СПб.: Питер, 2009
. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009