Материал: Системы технического зрения. Литвиненко А.М., Машаров А.В

Интуитивно краем обычно является граница между двумя областями, каждая из которых имеет приблизительно равномерную яркость. Часто края на изображениях возникают как результат наличия силуэтных линий объектов. В этом случае две упомянутые области являются изображениями двух разных поверхностей. Края также возникают из-за отсутствия непрерывности в ориентации поверхности и разрывов в ее отражательных свойствах. Если мы возьмем сечение функции яркости вдоль прямой, расположенной под прямым углом к краю, то, как правило, обнаружим скачок в ее значениях. На практике перепад не будет резким ввиду размывания и ограничений, вносимых зрительным устройством. Кроме того, иногда яркостные перепады вдоль краев лучше моделируются в виде скачков в первых производных яркости, нежели в самой яркости.

Ниже мы воспользуемся простой моделью для получения некоторого представления об операторах, которые могли бы усилить (обострить) края на изображении, увеличивая перепады яркости в их окрестности. Изображения с обостренными краями необходимо подвергнуть дальнейшей обработке для выделения линий и кривых. До сих пор наибольшие усилия концентрировались именно на задаче обострения краев и меньше — на обнаружении и локализации их фрагментов, однако недавно положение дел изменилось. Меньше всего внимания уделялось работе над объединением фрагментов краев в более крупные единицы, т. е. в линии и кривые на изображении.

2.4.2. Дифференциальные операторы

Простейшей моделью края на изображении является прямая, разделяющая две контрастные области (рис. 2.12). Нам понадобится единичная ступенчатая функция и(z), определяемая в виде

228

z

u(z) (t)dt

Предположим, что край располагается вдоль прямой

xsin y cos 0 . Тогда яркость изображения можно записать в виде

Рис. 2.12. Идеальный край в виде прямой, разделяющей две области постоянной яркости.

Эти дифференциальные операторы являются направленными, поскольку результат их действия зависит от ориентации края.

Вектор (дЕ/дх, дЕ/ду) называется градиентом яркости. Градиент

229

яркости представляет собой вектор, не зависящий от выбора системы координат, в том смысле, что он сохраняет свою величину и ориентацию по отношению к лежащему в основе образу, когда этот образ поворачивается или сдвигается.

Рассмотрим теперь квадрат градиента

Этот оператор, не являясь линейным, обладает круговой симметрией и действует на края одинаково при любом их угловом расположении.

Производная единичного импульса называется единичным дуплетом и обозначается . Используя это обозначение, получаем

симметрией. В случае нашей идеализированной модели края квадратичная вариация оказывается равной квадрату лапласиана. Обратите внимание, что среди трех рассмотренных операторов только лапласиан имеет тот же знак, что и перепад яркости при переходе через край. Это позволяет по изображению с обостренными краями определить, которая из разделяемых краем сторон более ярка. Таким образом, лапласиан — это единственный из трех операторов, по которому вообще возможно восстановление исходного изображения по изображению с обостренными краями. Кроме того, лишь он один из трех является линейным.

2.4.3. Дискретные аппроксимации

Рассмотрим группу элементов изображения размеров -2 х 2. Производные в центральной точке этой группы можно

оценить следующим образом:

Каждая оценка представляет собой среднее двух конечноразностных приближений.

Конечно-разностная аппроксимация производной всегда относится к определенной точке. Так, обычная конечно-разностная формула дает оценку, которая является несмещенной по отношению к точке, расположенной посередине между точками отсчета оцениваемой функции. Формулы, приведенные выше для оценки частных производных, выбраны именно такими потому, что они не смещены относительно одной и той же точки, а именно относительно общей угловой вершины в центре четырех

231

рассматриваемых элементов изображения (пикселов). Теперь квадрат градиента можно аппроксимировать следующим образом:

Если выполнить эти простые вычисления для всего изображения, то мы получим большие значения в тех местах, где яркость изменяется быстро. В областях постоянной яркости выход равен нулю. (Если присутствует шум, то выход отличен от нуля, но достаточно мал.) Результаты такой обработки можно занести в новый массив изображения, в котором края уже будут значительно усилены.

По квадрату градиента ничего нельзя сказать о направлении края. Эта информация содержится в самом градиенте, который указывает на направление наиболее быстрого увеличения яркости. Край ортогонален градиенту, поскольку

откуда следует, что дЕ/дх пропорциональна функции sin 9, а дЕ/ду — функции — cos 0. Градиент будет указывать на направление, ортогональное линии края, даже в том случае, если перепад яркости при переходе через край окажется достаточно плавным, например, благодаря размыванию. Естественно, дискретная аппроксимация градиента может давать не столь уж аккуратные оценки направления линии края, поскольку те элементы изображения, через которые проходит край, имеют промежуточные значения яркости.

Теперь рассмотрим группу элементов размером 3x3

232

Рис. 2.12. На гексагональной решетке отличная аппроксимация оператора Лапласа получается вычитанием значения в центральной ячейке из среднего арифметического значений в окружающих ее шести ячейках. Результат умножается на константу, зависящую от шага решетки е

Для оценки величины лапласиана в центральном пикселе используем следующие аппроксимации:

( E / x)2 12 [(Ei 1, j 2Ei, j Ei 1, j )]

Здесь значение в центральном пикселе вычитается из среднего арифметического его соседей. Ясно, что в областях постоянной яркости результат равен нулю. Это верно даже для тех участков, где

233

яркость изменяется линейно.

Подобные дискретные аппроксимации дифференциальных операторов используются при решении дифференциальных уравнений в частных производных конечно-разностными методами. Вспомните сказанное ранее о вычислительных трафаретах (масках). Коэффициент, на который умножается значение, называется весом. Набор весов, расположение которых указывает на те элементы изображения, к которым они применяются, называется маской или вычислительным трафаретом. В нашем случае маска имеет вид

где член слева представляет собой множитель, относящийся ко всем весам. Вспомните, что применение лапласиана эквивалентно свертке с обобщенной функцией, определенной последовательностью функций, имеющих впадину в центре, окруженную кольцеобразным (положительным) возвышением. Приведенная выше дискретная аппроксимация должна была напомнить вам о функциях этой последовательности.

На квадратной решетке трудно найти маску, которая аппроксимирует лапласиан и является симметричной. Ранее, когда мы пытались подыскать подходящее определение связности для бинарных изображений, нам пришлось принять решение о том, какие соседи заданного пиксела считаются связанными с ним. Здесь мы снова сталкиваемся. с вопросом, надо ли включать только элементы, примыкающие по сторонам, или угловые элементы. На гексагональной решетке подобная проблема не возникает, причем все шесть соседей входят с одинаковыми весами (рис. 2.12).

Один из возможных путей дальнейшего продвижения состоит в рассмотрении системы координат, повернутой на угол 45° относительно системы координат ху. Если мы обозначим оси новой системы через х' и y‘, то сможем использовать аппроксимацию

234

Соответствующая маска имеет вид

Ясно, что линейные комбинации двух приведенных выше масок также дают оценки членов, составляющих лапласиан. Популярная комбинация получается сложением первой из приведенных ранее масок, взятой с коэффициентом 2/3, со второй маской, взятой с коэффициентом 1/3. Этот оператор можно записать

в виде 2 ( 2 /12) 2 ( 2 ) e , где 2 - лапласиан, а е содержит производные шестого и более высоких порядков, умноженные на

дискретную аппроксимацию квадратичной вариации, нам нужна смешанная производная д2Е/дхду. Ниже приводится подходящая для ее вычисления маска:

235

Теперь должно быть ясно, как вычислить квадратичную вариацию

2.4.4. Локальные операторы и шум

На практике введенные выше локальные операторы непосредственно не применяются в основном из-за того, что на результат их действия серьезно влияет зашумленность изображения. Шум, будучи независимым, в различных элементах изображения, имеет плоский спектр. Как мы убедились при обсуждении вопросов обработки изображений, простые дифференциальные операторы значительно усиливают его высокочастотные компоненты. Края с низким контрастом просто теряются в таком шуме.

Мы можем использовать методы оптимальной фильтрации. Из сказанного там следует, что оптимальный фильтр для получения лапласиана изображения, например, может иметь следующий вид:

p2S2/(S2 + p2N2). На малых частотах оптимальный фильтр ведет себя как лапласиан, но при этом он не так существенно усиливает высокие частоты. Верхняя граница усиления -S2/N2 равна (с точностью до знака) отношению сигнал — шум.

Оптимальный фильтр можно разложить на два. Первый восстанавливает изображение наилучшим образом (в смысле метода наименьших квадратов). Это осуществляется путем умножения преобразования на S2/(S2 + p2N2). Второй фильтр преобразует результат, полученный с помощью первого фильтра, в требуемый отклик. В рассматриваемом здесь случае это достигается применением лапласиана, т. е. умножением на - р2. Ясно, что изображение, содержащее мало информации на частотах выше некоторой частоты, сначала проходит низкочастотную фильтрацию

236

в оптимальном фильтре. Если энергетический спектр на некоторой частоте имеет колоколообразный вид (максимум), то оптимальный фильтр будет иметь аналогичную форму вблизи этой частоты. Поскольку свертка ассоциативна, мы вправе применить этот фильтр и к дифференциальному оператору. Оптимальное приближение лапласиана представляет собой оператор с ненулевым пространственным носителем, так как оно получается применением лапласиана к оптимальному для данного изображения фильтру. Это означает, что оно не локально. На практике область, внутри которой такой оператор существенно отличен от нуля, может быть весьма большой.

Если наша цель заключается в получении наилучшей оценки градиента изображения, то мы находим градиент исходного изображения, пропущенного через оптимальный фильтр. Это равнозначно взятию производных по х и у от функции рассеяния точки оптимального фильтра и непосредственному их использованию при свертке с обрабатываемым изображением.

Например, если оптимальный фильтр обрабатываемого изображения Е (х, у) представляет собой функцию Гаусса

то функции рассеяния точки оптимальных фильтров для восстановления Ех и Еy соответственно имеют вид

В отличие от рассмотренных выше локальных операторов эти операторы обладают значительно более протяженным носителем. В результате действие шума ослабляется, в то время как сигнал (разность в яркости двух прилегающих областей) остается на том же уровне.

Отталкиваясь от этих интуитивных соображений, мы можем продвинуться вперед и предложить простой метод оценки разности в яркости поперек края. Допустим, что мы берем разность между

237