Материал: Справочник магнитного диска. методические указания к выполнению лабораторных работ дисциплины Математика. Катрахова А.А., Купцов В.С

Краткие теоретические сведения.

Гармоническим анализом называют разложение функции

f(х). заданной на отрезке [0, 2π], в ряд по функциям вида

sin nx и cos nx, где п - целое число. Этот ряд называется

рядом Фурье и записывается следующим образом:

(10.1)

Коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам:

Достаточные условия представимости функции f(x) рядом Фурье дает следующая теорема.

Теорема. Если периодическая функция f(x) с периодом Т = 2π кусочно гладка на отрезке [0, 2π], то ряд Фурье (10.1) сходится к значению f(x)в каждой точке непрерывности и к значению в точках разрыва.

Функция f(x)называется кусочно гладкой на отрезке [a, b], если сама функция и ее производная f(x) имеют на [a, b] конечное число точек разрыва первого рода.

Таким образом, гармонический анализ состоит в вычислении коэффициентов ряда Фурье. Для приближенного вычисления этих коэффициентов можно использовать любые квадратурные формулы.

Пусть f(x)- периодическая с периодом T=2l функция, удовлетворяющая условиям теоремы на отрезке [-l,l]. Тогда ее разложение в ряд Фурье имеет следующий вид

где

Частичные суммы S_k - это несколько первых слагаемых ряда Фурье, т.е.

Ряд Фурье четной функции f(x) содержит только свободный член и косинусы

,

где

Нечетная функция разлагается в ряд Фурье по синусам

,

где

Контрольные вопросы

1. В чем заключается задача практического гармониче­ского анализа?

2. Каким условиям должна удовлетворять функция

, чтобы ее можно было представить рядом Фурье?

3. Является ли система функции , ортогональной на отрезке [-l, l] и почему?

4. В каких точках ряд Фурье сходится к значению ?

5. К какому значению сходится ряд Фурье в точках раз­рыва функции f(x) первого рода?

6. Как записывается ряд Фурье для четной и нечетной функции?

7. Как ведут себя графики частичных сумм S_k с увеличением к и почему?

8. Для чего используется разложение функций в ряд Фурье в электротехнике?

Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановку задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и графики.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №11

СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

РЯДА ФУРЬЕ

Задание. Для сигнала f(x), заданного на отрезке [-l, l] (таблица к лабораторной работе № 10) найти амплитудный и фазовый спектр для частот 0, ω,…,kω где , Т = 2l;

построить графики амплитудного и фазового спектра для частот 0, ω,…,kω.

Краткие теоретические сведения

В электротехнической и радиотехнической литературе часто используется следующая форма записи ряда Фурье

(11.1)

где

Совокупность принято называть гармоническим спектром, причем - спектром амплитуд, а - спектром фаз.

Эти и спектры называются дискретными, так как они состоят из отдельных вертикальных линий (рис. 3), соответствующих дискретным частотам 0, ω,…,kω, где ω=π/l называется основной циклической частотой.

Рис.3

Указания к составлению программы

Для получения значений а_п и b_п воспользуйтесь программой из лабораторной работы № 10, при построении графиков спектров воспользуйтесь предыдущими графическими программами.

Контрольные вопросы

1. Как получить выражение (11.1) из выражения (10.1)?

2. В чем состоит смысл записи ряда Фурье в виде (11.1)?

3. Каков физический смысл коэффициентов А_п ?

4. Каков физический смысл чисел Ф_п?

5. Что такое гармонический спектр?

6. Как изображаются на графике спектры амплитуд и фаз, и что такое амплитуды и фазы ?

Содержание отчета

Отчет должен содержать исходные данные, постановил задачи, сведения о методе решения, текст программы, полученные результаты и графики.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Задание. Для сигнала f(t) вычислить значения амплитудного спектра на отрезке ( с числом разбиений г = 150 и построить график зависимости амплитудного спектра от .

Краткие теоретические сведения

Пусть функция f(t)абсолютно интегрируема на всей числовой оси, т.е.

и на любом конечном интервале раскладывается в ряд Фурье. Тогда она может быть представлена в виде интеграла Фурье в комплексной форме

где

Функция называется преобразованием Фурье или спектральной функцией (спектральной плотностью). Интеграл Фурье представляет функцию как бы в виде суммы бесконечно большого числа колебаний с непрерывно изменяющейся частотой со ; говорят, что интеграл Фурье дает разложение функции в непрерывный спектр. Величина называется спектральной плотностью амплитуд или амплитудным спектром.

Отсюда следует запись интеграла Фурье в тригонометрической форме

где

(12.4)

Сравнивая формулы (12.2) и (12.4), получаем

Тогда амплитудный спектр

В случае четной функции имеем

В случае нечетной функции имеем