Методичка: Устройства СВЧ и линии передачи

Задача № 2

Рисунок 2

Определить структуру гармонического электромагнитного поля в плоском диэлектрическом волноводе (световоде), изображённом на рисунке 2. Известны комплексные амплитуды двух проекций векторов поля в средах 1 и 2 при х ? 0 (таблица 3). Параметры световода приведены в таблице 4.

Потери в диэлектриках сред отсутствуют.

электромагнитный волна световод ток

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ № 2

Для решения задачи следует проработать разделы 10.7 в [3] и 11.1 в [1]. Алгоритм решения задачи рекомендуется следующим.

1. Определяются комплексные амплитуды всех остальных проекций у векторов и в средах 1 и 2 при х ? 0.

2. Составляются и совместно решаются уравнения, которые связывают между собой неизвестные поперечные волновые числа в средах 1 и 2, т.е. и б_?.

3. Определяются минимальная и максимальная толщины световода, при которых по нему будет распространяться только волна низшего типа.

4. Для средней толщины световода вычисляются параметры для волны низшего типа, т.е. ,, в и .

5. Используя заданную величину единичной мощности волны либо в среде 1, либо в среде 2, т.е. и , определяют амплитуды А и В, входящие в выражения для всех проекций векторов и .

6. Строятся зависимости амплитуд всех проекций векторов и от координаты х в области х ? 0.

7. Учитывая симметрию световода относительно оси z, характер построенных зависимостей следует распространить на область х ? 0.

Таблица 3

Таблица 4

Для выполнения всех пунктов задания следует проработать разделы 10.1 в [3] или 9.1 в [1].

Для выполнения пункта 1 надо использовать либо первое уравнение Максвелла для монохроматического поля, либо второе, а затем, применив следующее представление для вектора rot

rot=

перейти от векторного уравнения к трём скалярным. Первое уравнение надо решать для вариантов 5 и 9 в таблице 3, второе - для вариантов 0 и 7, упростив их после подстановки вида

.

Для остальных вариантов в этой таблице надо использовать соотношения (9.5) в [3], которые получаются из совместного решения первого и второго уравнений Максвелла для монохроматического поля. Исходя из этого, в средах 1 и 2 поперечные составляющие векторов связаны с продольными составляющими следующим образом:

В результате решения пункта 1 становятся известными все проекции у векторов и , что позволяет сделать вывод о типе волны, распространяющейся по данному волноводу.

Для выполнения пункта 2 следует записать граничные условия вида:

В этих соотношениях надо положить х = h. В результате получается два алгебраических уравнения, в которые входят неизвестные величины г_?, и А, В. Исключив из этих уравнений величины А и В, получаем одно уравнение, в которое входят только неизвестные величины г_? . Это уравнение далее следует преобразовать, например, в такое:

б_?

Решение этого уравнения, которое является трансцендентным, в графической форме представлено на рис. 3 в виде двух сплошных кривых. Пунктиром изображены четверти окружностей, которые представляют собой уравнения следующего вида:

где k = щ- волновое число в вакууме.

Наличие двух точек пересечения для верхней четверти окружности с двумя сплошными кривыми говорит о том, что в световоде распространяются два типа волны. Если, например, по заданию и , то это будут волны (точка 1) и (точка 2). Низшим типом является волна . Точка 3 соответствует максимальной толщине световода, точка 0 - минимальной (нулевой) толщине световода. Точка 4 соответствует средней толщине световода.

Фазовая скорость волны определяется по формуле:

где коэффициент фазы вычисляется из любого соотношения, приведённого ниже:

Для вычисления амплитуд А и В следует использовать значения единичных мощностей в таблице 4 и выражения для проекций векторов, при этом одна из констант находится по заданной мощности, а вторая из граничных условий.

Рисунок 3

При выполнении пунктов 6 и 7, надо вместе с графиками, привести исходные аналитические формулы проекций векторов, по которым были построены зависимости их амплитуд от координаты х.