Материал: 05_Нормальное распределение

Нормальное распределение.

I.Стандартное нормальное распределение.

Непрерывная с.в. Z с с возможными значениями (-∞;+∞) распределена по стандартному нормальному закону, если плотность распределения задана формуой:

(1)

f(Z)

C

Z

Анализ распределения.

1. с - ?

Эйлера-Пуассона

(2)

Для плотности распределения получаем формулу:

(3)

Функция Гаусса:

функция симметрична φ(-3,7)=φ(3,7)

2. (т.к. нечетная функция в симметричных пределах)

m_z=0 m_z=m_e=m₀

3. D_z - -?

D_z=M[z²] – (m_z)² = = = = ..=1

D_z =1 σ_z=1 (5)

1. F(z) - ?

F(z) = =

T=u в элементарных ф-циях не

Сводится к интегралу вычисляется , это спец.ф-ия,

Эйлера-Пуассона т.н. ф-ия Лапласа

(6) - функция Лапласа

Для функции Лапласа имеются таблицы.

График функции Лапласа:

Ф(z)

1

0.5

z

0

5) Асимметрия и эксцесс:

S_z = 0

6)Вер-ть попадания в заданный интервал:

P(α<z<β) = = = Ф(β) - Ф(α)

P(α<z<β) = Ф(β) - Ф(α) (8)

Общий случай нормального распределения

F(x)

x

a

Cохраняя особенности графика плотности растянем его вдоль оси абсцисс в σ раз; чтобы площадь осталась равной единице, он во столько же раз должен сжаться по оси ординат, и перенесем точку симметрии из нуля в т.а. ..Получим общий случай нормальной с.в. Х

(

Х = σ*z+a

Анализ распределения

1. f(x) - ?

f(x) =

(11)

f(x)

x

a

2)m_x - ?

M[x] = M[σ*z+a] =σ*m_z+a = a

M_x = m₀ = m_e = a (12)

3)D_x - ?

D[x] = D[σ*z+a] = σ*D_z +0 = σ²

D_x =σ²

σ_x =σ

(14)

Замечание: в ф-ле плотности нормального распределения два параметра а и σ. а совпадает с мат.ожиданием, а σ – со среднеквадратическим отклонением.

4

S_x = 0

E_x = 0

5. F(x) - ?

(15)

Получаем из стандартного нормального распределения заменой z по формуле (10)

5. - ?

(16)

Например: Нормальная с.в. имеет m_x=3 и D_x=16.

1. записать формулы F(x) и f(x);

2. найти P(2<x<5);

m_x=3=a

D_x=16 σ_x=4=σ

7. Вероятность отклонения от математического ожидания:

a- A a+

(17)

(18)

δ=σ P(|x-a|<σ)=2Φ(1)=0.6826

δ=2σ P(|x-a|<2σ)=2Φ(2)=0.9546

δ=3σ P(|x-a|<3σ)=3Φ(3)=0.9973

Замечание: хотя теоретически возможные значения распределены на всей числовой оси от -∞ до +∞, практически все возможные значения сосредоточены недалеко от m_x. Вер-ть того, что с.в. выйдет за пределы интервала (a-3σ; a+3σ) равна 0,0026, т.е. ≈ 0. В статистике это наз-ся правилом трех сигм

Найти вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал (;), если она распределена по указанному закону:

а) равномерное распределение на интервале (a;b);

2. показательное распределение с математическим ожиданием, равным b;

3. нормальное распределение с математическим ожиданием, равным a и среднеквадратическим отклонением, равным  .

Для каждого из записанных распределений известны формулы, позволяющие подсчитывать вероятность попадания в заданный интервал :

Равномерное на промежутке (a;b):

при условии, что (;) целиком лежит внутри (a;b)

Показательное с параметром  :

Нормальное с параметрами a,  :

Пользуясь этими формулами, находим:

Равномерное на интервале (5;10):

здесь интервал (3;7) не лежит целиком внутри (5;10);

Показательное с параметром =1/m_x = 1/10:

Нормальное с параметрами a=5,  =3 :

В последней формуле воспользовались таблицами значений функции Лапласа Ф(x).

.