Лекция: 12.1 Теория систем массового обслуживания

Для облегчения процесса моделирования используют классификацию СМО по различным признакам, для которых пригодны определенные группы методов и моделей теории массового обслуживания, упрощающие подбор адекватных математических моделей к решению задач обслуживания в коммерческой деятельности.

СМО с ожиданием — в общем случае многоканальная система в которую поступает поток заявок с интенсивностью λ; интенсивность обслуживания μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных заявок в единицу (времени). Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

—канал свободен; —канал занят, очереди нет;

— канал занят, одна заявка стоит в очереди;

—канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди;

— канал занят, k заявок стоят в очереди.

Граф системы показан на рис. 1.2. Все интенсивности потоков событий, переводящих в систему по стрелкам слева направо, равны λ, а справа налево —μ. Действительно, по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только придет заявка, система переходит в следующее состояние), справа же налево — поток «освобождений» занятого канала, имеющий интенсивность μ (как только будет обслужена очередная заявка, канал либо освободится, либо уменьшится число заявок в очереди).

Рис. 1.2. Одноканальная СМО с ожиданием

Изображенная на рис. 1.2 схема представляет собой схему размножения и гибели. Используя общее решение (1.1)—(1. 4), напишем выражения для предельных вероятностей состояний:

(1.1)

или с использованием :

(1.2)

Последняя строка в (1.2) содержит геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем р; откуда получаем:

(1.3)

в связи с чем предельные вероятности принимают вид:

(1.4)

Выражение (1.4) справедливо только при < 1 (при = 1 она дает неопределенность вида 0/0). Сумма геометрической прогрессии со знаменателем = 1 равна m + 2, и в этом случае

Определим характеристики СМО: вероятность отказа , относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А, среднюю длину очереди , среднее число заявок, связанных с системой ,среднее время ожидания в очереди , среднее время пребывания заявки в СМО .

Вероятность отказа. Очевидно, заявка получает отказ только в случае, когда канал занят и все т мест в очереди тоже:

(1.5)

Относительная пропускная способность:

(1.6)

Абсолютная пропускная способность:

Средняя длина очереди. Найдем среднее число заявок, находящихся в очереди, как математическое ожидание дискретной случайной величины R — числа заявок, находящихся в очереди:

С вероятностью в очереди стоит одна заявка, с вероятностью — две заявки, вообще с вероятностью в очереди стоят k - 1 заявок, и т. д., откуда:

(1.7)

Поскольку , сумму в (1.7) можно трактовать как производную по от суммы геометрической прогрессии:

Подставляя данное выражение в (1.7) и используя из (1.4), окончательно получаем:

(1.8)

Среднее число заявок, находящихся в системе. Получим далее формулу для среднего числа заявок, связанных с системой (как стоящих в очереди, так и находящихся на обслуживании). Поскольку , где — среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, а k известно, то остается определить . Поскольку канал один, число обслуживаемых заявок может равняться 0 (с вероятностью ) или 1 (с вероятностью 1 - ), откуда:

и среднее число заявок, связанных с СМО, равно

(1.9)

Среднее время ожидания заявки в очереди. Обозначим его ; если заявка приходит в систему в какой-то момент времени, то с вероятностью канал обслуживания не будет занят, и ей не придется стоять в очереди (время ожидания равно нулю). С вероятностью она придет в систему во время обслуживания какой-то заявки, но перед ней не будет очереди, и заявка будет ждать начала своего обслуживания в течение времени (среднее время обслуживания одной заявки). С вероятностью в очереди перед рассматриваемой заявкой будет стоять еще одна, и время ожидания в среднем будет равно , и т. д.

Если же k = m + 1, т. е. когда вновь приходящая заявка застает канал обслуживания занятым и m заявок в очереди (вероятность этого ), то в этом случае заявка не становится в очередь (и не обслуживается), поэтому время ожидания равно нулю. Среднее время ожидания будет равно:

если подставить сюда выражения для вероятностей (1.4), получим:

(1.10)

Здесь использованы соотношения (1.7), (1.10) (производная геометрической прогрессии), а также из (1.4). Сравнивая это выражение с (1.10), замечаем, что иначе говоря, среднее время ожидания равно среднему числу заявок в очереди, деленному на интенсивность потока заявок.

(1.11)

Среднее время пребывания заявки в системе. Обозначим матожидание случайной величины — время пребывания заявки в СМО, которое складывается из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания . Если загрузка системы составляет 100 %, очевидно, , в противном же случае

Отсюда