Материал: 1532

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

1. Правила приближённых вычислений

1.1. Значащие цифры

Существует простой способ выражения точности, с которой задано значение какой-либо величины, выраженное приближённым числом. Приближённое число записывается с таким числом значащих цифр, которое гарантирует достоверность всех цифр числа, кроме последней.

Цифры называют значащими, если представленный ими результат измерения или вычисления имеет абсолютную погрешность не более половины единицы младшего разряда.

Примеры:

а) число 4,3 содержит две значащие цифры. Оно могло быть получено в результате округления чисел от 4,25 до 4,34;

б) запись числа 4,30 (три значащих цифры) означает, что действительное значение может находиться в пределах от 4,295 до 4,304;

в) табличное значение плотности воды ρ = 1,0 г/см3. После перевода единицы плотности г/см3 в СИ следует записать ρ = 1,0∙103 кг/м3. Выражение этого значения плотности в виде ρ = 1000 кг/м3 в данном случае некорректно, так как табличное значение содержит только две значащие цифры.

Значащими считаются все цифры числа, начиная от первой слева, не равной нулю, до последней цифры справа (включая и нули). При этом нули, следующие из множителя 10n, – не значащие. Если нуль стоит в десятичной дроби слева, то он значащей цифрой не считается. Так, числа – 0,008, 8∙10-3 и 8∙103 – имеют всего по одной значащей цифре.

Примеры:

1)числа 0,0384 и 3,84∙10-2 имеют по три значащих цифры, их точность одинакова;

2)по четыре значащих цифры имеют числа 3840 и 3,840 ∙103;

3)из двух чисел, представляющих значения длины: 1,00 м и 100,0 см, – второе точнее.

Впрактике работы инженера часто ставится задача оценить значение некоторой величины. Оценить — это значит определить приближённое значение искомой величины с точностью не более одной значащей цифры. Например,

оценка средней длины свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях даёт значение 3∙10-7 м. При оценке считается достоверным только показатель степени десяти.

Окончательный результат приближённых вычислений не может содержать больше значащих цифр, чем наименее точное из исходных данных. Математическая обработка экспериментальных данных сама по себе не даёт повышения точности результата измерения. В то же время, чтобы не потерять точность, в промежуточных результатах вычислений следует оставлять одну-две лишние, “запасные” цифры.

156

1.2. Правила округления

Округление числа до n значащих цифр состоит в отбрасывании всех его цифр, стоящих после n-го разряда, с возможным изменением цифры этого разряда. Результаты вычислений округляются в соответствии со стандартом29 по следующим правилам.

♦Если за последней (слева направо) сохраняемой цифрой следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то при округлении оставшиеся цифры не изменяются.

♦Если за последней сохраняемой цифрой следует цифра 9, 8, 7, 6 или 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.

♦Округление до желаемого числа значащих цифр выполняют сразу, а не поэтапно.

Примеры: 0,54448 = 0,54; 0,5453 = 0,55; 0,452 = 0,5.

Впоследних двух примерах после округления до двух значащих цифр последняя сохраняемая цифра увеличена на единицу, т. к. первая отбрасываемая цифра равна 5 или больше 5.

Вследующих примерах округления целой части числа до двух значащих цифр отбрасываемые цифры заменены степенями 10 (а не нулями), чтобы избежать недоразумений в определении количества значащих цифр:

2148 = 2,1.103 ; 217,02 = 2,2 .102; 225 = 0,23.103.

1.3.Действия с приближёнными числами

♦При сложении и вычитании приближённых чисел окончательный результат после округления не должен иметь значащих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из чисел, составляющих эту сумму или разность.

♦ Когда вычитаются числа с близкими значениями, происходит потеря точности.

Пример. 14,4546 − 14,4543 = 0,0003 = 3∙10-4. (До вычитания было по шесть значащих цифр в каждом числе, а в результате вычитания осталась всего одна.)

♦ При умножении и делении число значащих цифр произведения и частного должно быть равно числу значащих цифр исходного числа с наименьшим их числом.

♦ При возведении в степень и извлечении корня любой степени результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в основании или в числе под корнем. Примеры: 14,562 = 2120 и 45 = 6,7.

♦ При логарифмировании число значащих цифр в мантиссе результата должно быть равно числу значащих цифр логарифмируемого числа. Примеры: F = 0, 04786; lg F = −1,3200.

G = 25,04; ln G = 3,220.

29 СТ СЭВ 543-77. Числа. Правила записи и округления.

157

♦ Если некоторые приближённые числа содержат больше десятичных знаков, чем другие (при сложении и вычитании), или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно округляют, сохраняя только одну лишнюю цифру. Затем проводят вычисления и округляют результат.

Пример. 4,31∙ 0,12∙2,358 = 4,31∙0,12∙2,36 = 1,2.

Когда в расчётной формуле присутствует малый параметр, тогда есть возможность существенно сократить время вычислений, используя следующие приближённые соотношения.

При условии x << 1:

(1± x)n ≈ 1± n;

e x ≈ 1 + x; ln (1+ x) ≈ x.

При условии α < 0,1 рад т.е. α < 5о :

cos α ≈ 1.

При условии α < 0,2 радт.е. α < 10о :

sin α ≈ tg α ≈ α , где α – угол, рад.

Приложение 2

Основные интегралы

(с точностью до произвольной постоянной)

158

Приложение 3

Производные некоторых функций

159

30Единицы СИ даны по ГОСТ 8.417-2002 [6]. Жирным шрифтом выделены сведения об основных единицах. В таблицу не включены редко применяемые производные величины, а также те, с написанием и применением единиц которых обычно не возникает затруднений.

31В современной метрологии принято считать радиан и стерадиан безразмерными

производными единицами, имеющими специальные наименования и обозначения, которые можно использовать по необходимости для других производных величин.

160