Материал: 5469

11

Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции.

Запишем таблицу истинности для эквиваленции (таблица 5):

Таблица 5 – Таблица истинности функции логического тождества (эквиваленция)

Приведём примеры записи сложных высказываний с помощью обозначения логических связок:

"Быть иль не быть – вот в чём вопрос" (В. Шекспир) А V ¬ A ↔ В. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары" (К. Прутков) А ↔ В.

2.6.Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

Операция исключающее ИЛИ (неравнозначность, сложение по модулю два) обозначается символом и отличается от логического ИЛИ только при A=1 и B=1.

Таким образом, неравнозначность двух высказываний Х1 и Х2 называют такое высказывание Y, которое истинно тогда и только тогда, когда одно из этих высказываний истинно, а другое ложно.

Определение данной операции может быть записано в виде таблицы истинности (таблица 6):

Таблица 6 – Таблица истинности операции «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»

Как видно из таблицы 6, логика работы элемента соответствует его названию. Это тот же элемент «ИЛИ» с одним небольшим отличием. Если значение на обоих входах равно логической единице, то на выходе элемента «ИСКЛЮЧА-

ЮЩЕЕ ИЛИ», в отличие от элемента «ИЛИ», не единица, а ноль.

Операция «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» фактически сравнивает на совпадение два двоичных разряда.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет своё название и обозначение (таблица 7).

12

Таблица 7 – Основные логические операции

3.Порядок выполнения логических операций

всложном логическом выражении

Система логических операций инверсии, конъюнкции, дизъюнкции позволяет построить сколь угодно сложное логическое выражение.

При вычислении значения логического выражения принят определённый порядок выполнения логических операций.

1.Инверсия.

2.Конъюнкция.

3.Дизъюнкция.

4.Импликация.

5.Эквивалентность.

Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.

13

4.Логические выражения и таблицы истинности

4.1.Логические выражения

Каждое составное высказывание можно выразить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Для записи составного высказывания в виде логического выражения на формальном языке (языке алгебры логики) в составном высказывании нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними.

Запишем в форме логического выражения составное высказывание

«(2·2=5 или 2·2=4) и (2·2≠5 или 2·2≠4)».

Проанализируем составное высказывание. Оно содержит два простых высказывания:

А = «2•2=5»—ложно (0), В = «2•2=4»—истинно (1).

Тогда составное высказывание можно записать в следующей форме: «(А или В) и (Ā или В)».

Теперь необходимо записать высказывание в форме логического выражения с учётом последовательности выполнения логических операций. При выполнении логических операций определён следующий порядок их выполнения:

инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Для изменения указанного порядка могут использоваться скобки:

F = (A v В) & (Ā v В).

Истинность или ложность составных высказываний можно определять чисто формально, руководствуясь законами алгебры высказываний, не обращаясь к смысловому содержанию высказываний.

Подставим в логическое выражение значения логических переменных и, используя таблицы истинности базовых логических операций, получим значение логической функции:

F = (A v В) & (Ā v В) = (0 v 1) & (1 v 0) = 1 & 1 = 1.

14

4.2.Таблицы истинности

Таблицы, в которых логические операции отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний, называются таблицами истинности.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B).

При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определённой последовательностью действий:

1) необходимо определить количество строк в таблице истинности. Оно равно количеству возможных комбинаций значений логических переменных, входящих в логическое выражение. Если количество логических переменных равно п, то:

количество строк = 2n.

В нашем случае логическая функция имеет 2 переменные и, следовательно, количество строк в таблице истинности должно быть равно 4;

2)необходимо определить количество столбцов в таблице истинности, которое равно количеству логических переменных плюс количество логических операций.

В нашем случае количество переменных равно двум: А и В, а количество логических операций — пяти (таблица 8), то есть количество столбцов таблицы истинности равно семи;

3)необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, обозначить столбцы и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных;

4)необходимо заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Теперь мы можем определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

15

Таблица 8 – Таблица истинности логической функции

4.3.Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности сов-

падают, называются равносильными. Для обозначения равносильных логических выражений используется знак «=».

Докажем, что логические выражения равносильны. Построим сначала таблицу истинности логического выражения (табли-

ца 9).

Таблица 9 – Таблица истинности логического выражения

Теперь построим таблицу истинности логического выражения (таблица 10).

Таблица 10 – Таблица истинности логического выражения

Значения в последних столбцах таблиц истинности совпадают, следовательно, логические выражения равносильны:

=.