Материал: 5469
21
Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:
А v Ā=1.
7.4.Закон двойного отрицания
Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:
=А.
7.5.Законы де Моргана (общей инверсии)
= Ā & 
;
= Ā 
.
Важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют законы алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.
7.6.Закон коммутативности (переместительный)
Вобычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:
Логическое умножение |
А & В = В & А. |
Логическое сложение |
A v В= A v В. |
7.7.Закон ассоциативности (сочетательный)
Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
Логическое умножение |
Логическое сложение |
(А & B) & С =A & (B & С). |
(A v В) v С = A v (B v С). |
22
7.8.Закон дистрибутивности (распределительный)
Вотличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:
Дистрибутивность умножения |
Дистрибутивность сложения |
относительно сложения |
относительно умножения |
|
|
ab+ ас = а(b+с) — в алгебре |
(A v В) & (A v С) = A v (B & С) |
(А & В) v (A & С) =А & (B v С) |
|
|
|
Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выраже-
ние (А & В) v (А & 
).
Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А: (А & В) v (А & 
) = А & (B v 
).
По закону исключённого третьего В v 
=1, следовательно:
А & ( В v 
) = А & 1 = А .
8. Логические элементы
Работа современных вычислительных машин сводится к обработке последовательностей нулей и единиц, которыми закодирована различная информация (числовая, графическая звуковая), и пересылки этой информации. Такую обработку производит арифметико-логическое устройство, являющееся частью процессора. Состоит оно из логических элементов.
Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И—НЕ, ИЛИ—НЕ и другие (называемые также вентилями), а также триггер.
С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.
Чтобы представить два логических состояния — “1” и “0” в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.
Высокий уровень обычно соответствует значению “истина” (“1”), а низкий — значению “ложь” (“0”).
Каждый логический элемент имеет своё условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электрон-
23
ная схема в нём реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.
Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.
8.1.Простейший логический элемент НЕ (инвертор)
ВЭВМ операция инверсии физически реализуется стандартным логическим элементом «не» – инвертором.
В этом устройстве в качестве переключателя используется автоматический ключ. Когда тока в нём нет, пластинка замыкает контакты и лампочка горит. Если на переключатель подать напряжение, то цепь размыкается. Лампочка не горит.
Он имеет один вход и один выход. Работа этого элемента заключается в инвертировании (т.е. замене на противоположный) значения поступившего в него сигнала.
Зависимость входных и выходных сигналов можно представить в виде таблицы истинности.
24
ИНВЕРСИЯ
АF
01
10
Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.
8.2.Логический элемент И (конъюнктор)
Его работа заключается в том, что на выходе получается сигнал, равный «1», когда на оба входа был подан единичный сигнал. Элемент имеет два входа и один выход.
A |
B |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.
Первый контакт в положении «выкл», второй – в положении «вкл». Ток не идёт, лампочка не горит.
Обратная ситуация. Лампочка не горит. Оба контакта в положении «включено».
25
Тогда ток через лампочку идёт и она горит.
Таблица истинности логического элемента «И»
8.3.Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор)
A |
B |
F |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Оба контакта в положении «выкл». Тока нет. Лампочка не горит.
Первый контакт в положении «выкл», второй – в положении «вкл». Ток идёт, лампочка горит.
Обратная ситуация. Лампочка горит. Оба контакта в положении «включено».
Тогда ток через лампочку идёт и она горит.
8.4.Логический элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ»
Схематически элемент элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» обозначается следующим образом:
Элемент «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» Составим таблицу истинности логического элемента «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ
ИЛИ» (таблица 17).