Материал: 5540

Например, пусть А – множество юношей и девушек обучающихся на 1-м курсе в институте, а В – множество всех девушек, которые обучаются в данном институте. Тогда А\В – множество всех юношей, которые обучаются на 1-м курсе.

Пусть имеется некоторое универсальное множество U такое, что все рассматриваемые множества есть его подмножества. Например, возьмём множество книг. В это множество входят подмножества научных, художественных книг, книг по искусству; среди научных книг есть подмножества книг по математике, химии, биологии и т.д. Множество всех книг – это универсальное множество, содержащее в себе различные подмножества книг. Сколько этих подмножеств? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим другой пример. Пусть универсальное множество состоит из трёх элементов: а, в, с . Перечислим все подмножества U: а , в , с , а, в , а, с , в, с , а, в, с , Ø. Их всего 23 = 8 подмножеств. Если универсальное множество U состоит из п элементов, то число всех подмножеств множества U равно 2п .

Пусть множество А есть некоторое подмножество универсального множества U. Дополнением множества А называется множество А (рисунок 1.4) элементами которого являются все элементы, не входящие в А, но принадлежащие U.

Рисунок 1.4 – Множество А

Например, если U = {целые числа}, А= {чётные числа}, то А = {нечётные числа}.

Для любых подмножеств А, В, С и универсального множества U выполняются следующие тождества:

1) коммутативность пересечения и объединения:

11

АВ В А,

АВ В А;

2)ассоциативность пересечения и объединения:

3) дистрибутивность пересечения и объединения относительно друг друга:

( А В) С ( А С) (В С), ( А В) С ( А С) (В С);

4)А А U , А А Ø;

5)А Ø= А, А U = А;

6)А А= А, А А= А;

7)А U = U, А Ø = Ø;

8)закон двойственности – закон де Моргана:

АВ А В ,

АВ А В;

9)закон поглощения:

Данные тождества позволяют упрощать различные сложные выражения, содержащие множества, подобно тому как такие упрощающие

U B C B C B C B C U.

Задача 1.1. Какие из следующих утверждений верны для всех множеств А, В и С?

12

Пример 1.3. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое – только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал трёх языков. Один изучал немецкий и английский, трое – французский и английский. Сколько человек изучали французский и немецкий языки?

Решение. Обозначим через А множество учеников, изучавших английский язык, через В – немецкий язык, через С – французский язык. По условию А В содержит один элемент, А С содержит 3 элемента, А В С Ø (никто не изучал сразу три языка). Требуется определить количество элементов в пересечении В С . Изобразим эти множества на диаграмме Венна (рисунок 1.5).

6

С

Рисунок 1.5 – Диаграмма Венна

Объединение множеств А В С содержит 20 элементов. Из диаграммы видно, что множество В С должно содержать 20 – 1 – 2 – 3 – 6 – 3 = 5 элементов. Значит, французский и немецкий языки изучали 5 человек.

Задача 1.2. Из 220 студентов 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и футбол?

Задача 1.3. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, имеют оценки «5», «4» и «3». Число студентов, имеющих оценки «5» – двадцать, «4» – четырнадцать, «3» – шестнадцать. Трое учатся на «5» и на «3», трое – лишь на «5» и на «4» и четверо – лишь на «4» и на «3». Сколько человек имеют одновременно оценки «5», «4», «3».

Задача 1.4. Анкетирование, проведённое среди 57 студентов, показало, что в шахматы умеют играть 35 человек, в шашки – 40 человек, причём в обе игры умеют играть 21 человек. Сколько человек не умеют играть ни в шахматы, ни в шашки?

13

Задача 1.5. Приняв множество первых 20 натуральных чисел в качестве универсального множества, записать следующие его подмножества: А – множество чётных чисел, В – множество нечётных чисел, С – множество квадратов чисел, D – множество простых чисел?

Если Р(х) есть свойство, а f – функция, то через

f (x) P(x)

мы будем обозначать множество всех таких у, для которых имеется х, обладающий свойством Р(х) и такой, что у=f(х). Например, вместо того, чтобы писать {у| имеется такой х, что х есть целое число и у=2х}, мы будем писать

2x x Z .

п – помер варианта.

Задача 1.8. Упростите выражение

(A B C X ) (A C) (B C) (C X ).

14

1.2 Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

Унарные (одноместные) отношения отражают наличие какого-то определённого признака R (свойства и т.п.) у элементов множества М. Тогда все такие элементы a из множества М, которые отличаются данным признаком R, образуют некоторое подмножество в М, называемое унарным отношением R, т.е. a R и R M.

Двухместным (бинарным) отношением R называется подмножество пар (a, b) R прямого произведения М1 М2, т.е. R M1 M 2. Бинарные (двухместные) отношения используются для определения каких-либо взаимосвязей, которыми характеризуются пары элементов прямого

отношения R, множество М2 – областью значений. Часто рассматривают отношения R между парами элементов одного и того же множества М,

15