Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Федеральное агентство связи

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)

Д. В. Лыткина

Т. В. Храмова

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ

Учебное пособие

Новосибирск

2016

УДК 512

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: д.ф.-м.н. Мазуров В.Д.

д.ф.-м.н. Судоплатов С.В.

Лыткина Д. В., Храмова Т. В. Алгебраические структуры : Учебное пособие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск, 2016. – 108 с.

Пособие предназначено для использования в учебном процессе преподавателями и студентами высших учебных заведений при изучении математики в соответствии с ФГОС по направлениям подготовки бакалавров 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» и 01.03.02 «Прикладная математика и информатика».

В авторской редакции

Оглавление


1.	Элементы теории множеств.............................................................................................			4
2.	Алгебраические системы...................................................................................................			8
3.	Циклические группы. Группа подстановок...............................................................			12
4.	Кольца вычетов. Поля Галуа. Кольцо квадратных матриц...................................			19
5.	Евклидовы кольца. Кольцо многочленов над полем..............................................			26
6.	Линейное пространство. Линейная зависимость векторов...................................			30
7.	Базис и размерность линейного пространства..........................................................			35
8.	Переход в линейном пространстве от базиса к базису...........................................			41
9.	Евклидовы пространства. Ортонормированный базис..........................................			46
10.		Линейные операторы. ....................................................................................................		53
11.		Собственные значения и собственные векторы линейного оператора...........		58
12.		Жорданова форма матрицы линейного оператора. Канонический базис.......		65
13.		Самосопряженные операторы. Ортогональные операторы. Полярное
разложение матрицы линейного оператора...................................................................				71
14.		Билинейная форма. Квадратичная форма................................................................		76
15.		Кривые второго порядка...............................................................................................		80
16.		Поверхности второго порядка.....................................................................................		87
Контрольная работа 1. Циклические группы.................................................................				90
Контрольная работа 2. Кольцо квадратных матриц...................................................				92
Контрольная работа 3.			Кольцо многочленов над полем...........................................	94
Контрольная работа 4.			Линейное пространство. Ортонормированный базис....	95
Контрольная работа 5.			Линейные операторы...............................................................	96
Контрольная работа 6.			Линейные операторы. Переход к другому базису..........	97
Контрольная работа 7. Собственные значения и собственные ..............................				98
векторы линейного оператора............................................................................................				98
Контрольная работа 8.			Кривые второго порядка.......................................................	100
Ответы к задачам ...........................................................................................................				101
Литература ...........................................................................................................				107

1. Элементы теории множеств

Множество – это совокупность различимых элементов. Для обозначения того факта, что элемент x принадлежит (не принадлежит) множеству M , будем использовать обозначение x M (x M ). Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается как .

В дальнейшем для компактности записей будем использовать кванторы, а именно:

«» – квантор всеобщности, читается как «для любого», «каждый»;

«» – квантор существования, читается как «существует», «найдется».

Кроме того, будем использовать общепринятые обозначения:

« : » или « | » – «такой, что»;

«» – «следовательно», «значит»;

«» – «равносильно», «тогда и только тогда».

Например, запись

x y : y x

читается как «для любого действительного числа x найдется действительное число y, такое, что y меньше x».

Запись M x|P(x) читается как «множество M состоит из элементов x, для которых выполняется условие P(x)».

Если все элементы множества A являются элементами множества B, то

A называется подмножеством множества B (A включено в B):

x A x B

A B.

Знак включения может быть строгим:

x A x B и y B:у A

A B.

Множества равны, если они включены друг в друга:

A B и B A A B.

Декартово произведение множеств A1 A2 ... An состоит из

упорядоченных n-ок, в которых i-й элемент принадлежит множеству Ai, i 1, n, n (запись i 1,n означает, что i 1,2,...,n):

A1 A2 ... An a1,a2,...,an |ai Ai,i 1,n .

Частный случай декартова произведения – декартова степень множества:

An a1,a2,...,an |ai A,i 1,n

Любое подмножество R декартова произведения A B называется отношением на множествах A и B. Если пара (a,b) принадлежит отношению, то будем говорить, что aиb соответствуют друг другу.

Отношение на множествах		A и B, состоящее	только из пар, в которых
каждому	элементу множества	A соответствует	единственный	элемент
множества	B, называется функцией. Если при		этом каждому	элементу

множества В соответствует единственный элемент из А, то функция называется

взаимно	однозначным отображением	или	биекцией.	Для	обозначения
функции	f A B и принадлежности	(a,b) f	традиционно		используются
записи
	f :A B,	f (a) b.
Функция f :Mn M называется n-арной алгебраической операцией
на множестве M . Частными случаями		являются унарная		алгебраическая
операция f :M M и бинарная алгебраическая операция				f :M2 M .

Бинарные алгебраические операции могут обладать (или не обладать) следующими свойствами:

ассоциативность операции :

x,y,z M x (y z) (x y) z;

коммутативность операции :

x,y M x y y x;

дистрибутивность операции относительно операции

слева: x,y,z M x (y z) x y x z ,

справа: x,y,z M (y z) x y x z x .

Пример. Рассмотрим алгебраические операции сложения, вычитания, умножения и деления на множестве действительных чисел .

Сложение и умножение ассоциативны:

x (y z) (x y) z , x (y z) (x y) z ,

авычитание и деление свойством ассоциативности не обладают:

x(y z) x y z (x y) z (x y) z,

x:(y:z) x zy (x z): y,

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution