Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.6. Проверить, является ли группой алгебраическая система:

а) {0}, ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) {0}, ;

ж) {0}, ;

з) , ;

и) , ;

к) , ;

л) , ;

м) \{0}, .

2.7.Проверить, является ли кольцом алгебраическая система:

а) {0}, , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) {0}, , ;

д) , , ;

е) , , .

2.8.Проверить, является ли полем алгебраическая система M, , , где M –

следующее множество чисел:

а) M a b2 a,b ;

б) M a b2 a,b ;

в) M a b32 a,b ;

г) M a b32 a,b ;

д) M a b32 c34 a,b,c ;

е) M a b32 c34 a,b,c .

3. Циклические группы. Группа подстановок

Циклическая группа – это группа, все элементы которой являются степенями некоторого порождающего элемента:

a M :	b M	n	b a a ... a an.

			n

Порядком элемента циклической группы называется наименьшая степень, в которой он равен единице. В случае, если такой степени не существует, говорят, что элемент имеет бесконечный порядок. Циклическая группа, порожденная элементом a, обозначается как a.

Порядок циклической группы равен порядку порождающего элемента. Циклическая группа может быть бесконечной, например, группа , .

Порядок бесконечной циклической группы равен бесконечности. Порядок конечной циклической группы равен числу элементов носителя. Примером циклической группы является мультипликативная группа 1.

Подстановка – это взаимно однозначное отображение непустого конечного множества на себя, т.е. :M M . Без ограничения общности можно считать, что M 1,2,...,n . Подстановку множества из n элементов

называют подстановкой степени n. Обычно, если множество M конечно, для записи подстановки используется табличная форма

	1		2	3	...	n	,	(k) i ,	i 1,2,...,n	k		.
											1,n
		i	i	i	...	i		k	k

		1	2	3		n
Множество всех подстановок множества M обозначается как S(M).
Если элемент отображается сам на себя (т.е. k k ),										то он называется

неподвижным. В противном случае элемент называется действительно перемещаемым. Тождественная подстановка – это подстановка, состоящая только из неподвижных элементов, она обычно обозначается как .

Множество всех действительно перемещаемых элементов подстановки

называется		носителем			подстановки: supp( ) k											k k . Очевидно, что

носитель тождественной подстановки – пустое множество.
Произведение двух подстановок										и			одной и той же степени одного и
того же множества определим как сложную функцию																			k	следующим
образом:
1		2	3 ...	n		i		i	i	...	i			1			2		3 ...	n
	i	i	i ...	i			1	1	1	...	1				j		j		j ...	j	.
							j	j	j		j	n						2			n
	1	2	3	n			1	2	3						1				3

Нетрудно убедиться, что система S(M), является группой (упр. 3.6). Для

любой подстановки обратная подстановка определяется как обратное отображение:

1	1	2	3	...	n 1	i		i	i ...	i
		i2	i3	...			1	2	3	n	.
	i1				in		1	2	3 ...	n
Рассмотрим некоторую подстановку S(M) конечного множества M и
произвольный элемент		k1 supp( ).					Рассмотрим			последовательность
элементов: k2 k1 ,	k3	k2		и т.д.		Пусть s			– наименьшее натуральное

число, такое, что ks 1 ks k1 (такое число существует, так как M конечно).

Множество k1,k2,...ks называется нетривиальной орбитой подстановки

длины s. Орбита, состоящая из одного элемента, называется тривиальной. Очевидно, что этот единственный элемент является неподвижным.

Множество M относительно подстановки разбивается на объединение орбит, а supp( ) – на объединение нетривиальных орбит:

1		2	3	4	5	6	7
	2	4	5	1	3	7	6

1,2,3,4,5,6,7 1,2,4 3,5 6,7 .

орбиты

В соответствие с разбиением множества supp( ) на объединение непересекающихся орбит существует удобная форма записи подстановки в виде произведения независимых циклов.

Цикл – это подстановка S(M) вида	i		i	...	i	k	...	k		,
Цикл – это подстановка S(M) вида		1	2	...	s	1	...	k	t	,
		i	i	...	i	k	...	k	t
		2	3		1	1			t

где i1,i2,...,is,k1,...,kt 1,2,...,n , называется циклом длины s. Цикл длины 2

называется транспозицией. Циклы и называются независимыми, если supp( ) supp( ) . Нетрудно убедиться, что если множество M относительно подстановки разбивается на объединение m орбит

supp( ) i11,i21,...,is11 i12,i22,...,is22 ... i1m,i2m,...,ismm ,

то подстановка представима в виде произведения m независимых циклов:

m m

...

is1

...

kt1

...

is2

k1 ...

kt2

... i1

...

ism

...

ktm ,

...

k2 ...

...

j 1,m.

где i1

,i2

,...,isj

,k1

,k2

,...,ktj 1,2,...,n ,

Такое представление подстановки называют разложением в произведение независимых циклов и записывают в виде

i11,i21,...,i1s1 i12,i22,...,is22 ... i1m,i2m,...,ismm

или, если необходимо указать неподвижные элементы, в виде

i11,i21,...,i1s1 i12,i22,...,is22 ... i1m,i2m,...,ismm k1 ... kt ,

где k1 ,k2 ,...,kt M \ m i1j,i2j,...,isjj – неподвижные элементы .

j 1

Каждая подстановка порождает циклическую группу с операцией .

Пример 1. Определить циклическую группу, порожденную подстановкой

1		2	3	4
	2	1	4	3	.

Решение. Тождественная подстановка получится как квадрат порождающего элемента, следовательно, порядок группы равен 2, обратный к порождающему элементу равен ему самому:

1 2 3 4 2		1 2 3 4	,
	2 1 4 3
		1 2 3 4

1 .

Получаем, что ; , . Никаких других элементов мы не получим,

например, при возведении порождающего элемента в третью степень имеем

1 2 3 4 3		1 2 3 4		.	█
	2 1 4 3		2 1 4 3

		Пример			2. Записать		элементы			группы подстановок S 3 , ,
3 1;2;3 .
										1	2	3
		Решение. Элементами группы являются подстановки вида i									i	i	.
										1	2	3
	1		2	3			1	2	3	1 1,
			2	,		1		1	3	1 1,
	1		2	3			2	1	3
	1		2	3	2 1,		1	2	3	3 1,
	2	3	2		2 1,		3	3	2	3 1,
		3	2	1			1	3	2
								14

1		2	3	5 1,	1		2	3	4 1.
4	2	3	1		5	3	1	2

Запишем результат применения к элементам группы операции в виде таблицы умножения (таблицы Кэли):

		1	2	3	4	5

		1	2	3	4	5

1	1		4	5	2	3

2	2	5		4	3	1

3	3	4	5		1	2

4	4	3	1	2	5

5	5	2	3	1		4

							█
Пример 3. Разложить подстановку							в произведение независимых
циклов
1		2	3	4	5	6
	2	5	6	4	1	3	.
	2	5	6	4	1	3

Решение. Найдем орбиты подстановки и соответствующие им

независимые циклы:
(1) 2, (2) 5, (5) 1, 1,2,5	1		2	3	4	5	6
(1) 2, (2) 5, (5) 1, 1,2,5	– орбита,	2	5	3	4	1	6	;
		2	5	3	4	1	6

(3) 6	1	2	3	4	5	6
(3) 6	, (6) 3, 3,6 – орбита,	2	6	4	5	3	;
	1	2	6	4	5	3
	(4) 4 – неподвижный элемент.
Следовательно, (1,2,5)(3,6) (1,2,5)(3,6)(4).							█

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution