КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Линейная алгебра
Аналитическая геометрия
Студент гр. з-147У-б
Пуртов Владимир
г. Кемерово пр-т Молодёжный 4а-36
1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точки M1(?1, 2) и M2(?3,?2).
Найдите значения параметров k и b для этой прямой.
Решение:
Уравнение прямой, проходящей через две точки (x0, y0) и (x1, y1).имеет, вид
значит,
или Получаем уравнение прямой
2. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x ? 12y ? 65 = 0 и 5x ? 12y + 26 = 0. Вычислите его площадь.
Решение:
Найдем расстояние между прямыми по формуле
Значит a = 7, S = a2 , S =49.
3. Запишите общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки P(?3, 2, 5) на плоскости и
.
Решение:
б:
в:
г - искомая плоскость P (?3, 2, 5) г
n1= (4;1;-3) - нормаль б, n2 = (1;-2;1) - нормаль в. Пусть n нормаль г. Тогда
=
Уравнение г найдем по формуле -
.
Ответ:
4. Найдите длину отрезка прямой, параллельной вектору l = (0, 3, 4), между точками пересечения её с плоскостями и .
Решение:
Плоскости параллельны т.к.
Длина искомого отрезка равна длине вектора l.
Ответ: 5
5. Найдите те значения m и n, при которых прямая
пересекает прямые
Решение:
Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.
1)
Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен векторам нормали. заданных плоскостей, то за S примем векторное произведение векторов N1 и N2
в качестве точки M1(x1,y1,z1) через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей. Например, с плоскостью XOZ. Положим y = 0.
находим
Прямые
пересекутся если:
2)
Решим систему
Ответ:
6. Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке (0, 0, z0),
z0 > 0, параллельна плоскости, отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси ординат. Найдите абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.
Решение:
Искомая прямая находится в плоскости XOZ и проходит через точки (0,0,z0) и (x1,0,0) т.к. она перпендикулярна OY
Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, вычислим его по формуле:
Ответ: 21 или -28
7. Запишите уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2).
Решение:
.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной возьмём вектор CM, где С (2; -4)- центр окружности.
СМ = ( -1; 6)
- искомое уравнение касательной.
8. Дана кривая
8.1. Докажите, что эта кривая -- эллипс.
8.2. Найдите координаты центра его симметрии.
8.3. Найдите его большую и малую полуоси.
8.4. Запишите уравнение фокальной оси.
8.5. Постройте данную кривую.
Решение: уравнение отрезок прямая окружность
8.1.
8.2. Центр его симметрии находится в точке (1;3)
8.3. Большая полуось a = 5, малая полуось b = 3
8.4. Уравнение фокальной оси y = 3
9. Дана кривая .
9.1. Докажите, что данная кривая -- парабола.
9.2. Найдите координаты её вершины.
9.3. Найдите значение её параметра p.
9.4. Запишите уравнение её оси симметрии.
9.5. Постройте данную параболу.
Решение:
9.1.
9.2. Вершина параболы (5; 0).
9.3. Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим 2p = -2, откуда p = - 1.
9.4. Ось симметрии x = 5.
10. Дана кривая
10.1. Докажите, что эта кривая -- гипербола.
10.2. Найдите координаты её центра симметрии.
10.3. Найдите действительную и мнимую полуоси.
10.4. Запишите общее уравнение фокальной оси.
10.5. Постройте данную гиперболу.
Решение:
10.1. Приводим квадратичную форму Матрица этой квадратичной формы:
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
Характеристическое уравнение:
Исходное уравнение определяет гиперболу (л1 > 0; л2 < 0)
10.2. Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B.
или
Собственный вектор, отвечающий числу при x1= 1
x1 = (1, 2).В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:
где -длинна x1 или
Находим координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу л2 = 20
x2= (2,-1).
Итак, имеем новый ортонормированный базис (i1,j1).Переходим к новому базису:
Выносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем:
Выделяем полные квадраты:
для x1:
для y1:
В итоге получаем:
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
10.3. a = 4 (действительная полуось); b = 2 (мнимая полуось)
10.4.