Материал: cgiirbis_64 (7)
Отже, на основі другої сукупності дістанемо таку економетричну модель:
€
Y 4,2 0,24X1 .
3.3. На підставі наведених щойно даних знайдемо суму квадратів залишків (ці дані можна дістати зі стандартних програм «Лін1» та «Лін2», вони виділені в наведених розрахунках вище):
S1 0,5185;
S2 0,4000.
3.4. Знайдемо критерій
R* |
S2 |
; |
R* |
0,4 |
0,77 . |
S |
0,5185 |
||||
|
1 |
|
|
|
|
Порівняємо це значення з табличним значенням критерію Фі-
шера (F-критерію), коли маємо n c 2m 2 ступенів свободи та
2
=0,5. Значення критерію R* менше від табличного значення критерію Фішера (0,77 < 19), а отже, у масиві змінних гетероскедастичності немає.
Тест Глейсера.
Цей тест базується на визначенні регресійної залежності між модулем залишків та тією змінною, яка може спричинитися до гетероскедастичності,
u€ a€0 a€1 X j .
У цій моделі перевіряється достовірність оцінок параметрів a€0 та a€1 .
Достовірність параметрів a€0 та a€1 можна дістати, скористав-
шись стандартною програмою «Лінійн», де вхідними даними замість вектора Y (попит) були значення залишків, здобутих методом 1 МНК за модулем та відповідна незалежна змінна Х (дохід на одну людину, або ціна одиниці товару, або одиниці взаємозамінюваних товарів).
8
Виконаємо обчислення, маючи на меті встановити наявність гетероскедастичності залишків для доходу на одну особу (Х1):
|
|
0,00715 |
1,12923 |
|
|
|||
|
|
0,00800 |
1,83442 |
|
|
|||
|
|
«Лінійн» = 0,07399 |
0,51559 |
|
|
|||
|
|
0,79900 |
10 |
|
|
|
||
|
|
0,21240 |
2,65829 |
|
|
|||
Далі визначаємо достовірність параметрів моделі за критерієм |
||||||||
Стьюдента (t-критерієм): |
a€j |
|
|
|
|
|
||
|
|
ta j |
, |
|
|
|
|
|
|
|
Sa€j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де a€j |
— оцінка відповідного параметра моделі; |
|
|
|||||
Sa€j |
— стандартна похибка оцінки. |
|
|
|
|
|||
Зокрема маємо: |
|
|
|
|
|
|
||
|
ta |
1,33 0,59 ; |
|
|
ta |
0,007 |
0,87 . |
|
|
0 |
1,83 |
|
|
1 |
0,008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Як бачимо, обчислені значення t-критерію для a€0 |
та a€1 менші |
|||||||
за табличне значення (1,86) цього критерію при |
0,05 , а отже, |
|||||||
оцінки параметрів статистично незначущі, тобто залишки не є ге- |
|
тероскедастичними. |
|
З’ясуємо, чи є гетероскедастичними залишки для ціни одиниці |
|
товару (Х2): |
|
0,0330 |
1,0611 |
0,0397 |
0,6852 |
«Лінійн» = 0,0647 |
0,5182 |
0,6914 |
10 |
0,1857 |
2,6850 |
Установимо достовірність параметрів моделі згідно з критерієм Стьюдента (t-критерієм):
ta |
|
|
1,06 |
1,54 ; |
ta |
|
0,03 |
0,75 . |
|
0 |
|
0,69 |
|
1 |
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Як бачимо, значення t-критерію для a€0 , коли рівень значущо-
сті 0,05 , також менше за табличне значення t-критерію (1,86).
Отже, оцінки параметрів статистично незначущі, а залишки не є гетероскедастичними.
9
Виконаємо обчислення, щоб установити наявність гетероскедастичності залишків для ціни одиниці взаємозамінюваних товарів (Х3):
|
|
|
|
0,04813 |
1,11997 |
|
|
|
|
|
|
0,03833 |
0,28927 |
|
|
|
|
|
|
«Лінійн» = 0,13622 |
0,46969 |
|
|
|
|
|
|
1,57698 |
10 |
|
|
|
|
|
|
0,34789 |
2,20608 |
|
|
Виконаємо обчислення, щоб з’ясувати |
достовірність оцінок |
||||||
параметрів моделі згідно з критерієм Стьюдента (t-критерієм): |
|||||||
ta |
|
|
1,11 |
3,97 ; |
ta |
0,05 |
1,25 . |
|
0,28 |
0,04 |
|||||
|
0 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Отже, |
|
значення t-критерію для a€0 , при 0,05 , більше за |
|||||
табличне значення t-критерію (1,86). Звідси випливає, що оцінка параметру a€0 є статистично значущою, а залишки мають змішану
гетероскедастичність.
Висновок. В економетричній моделі для вихідних даних виявлено змішану гетероскедастичність, а тому для оцінювання параметрівмоделінеможназастосовувати метод найменших квадратів.
Метод Ейткена.
Якщо при економетричному моделюванні для певних вихідних даних буде виявлено явище гетероскедастичності, то параметри моделі слід оцінювати за узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена). Оператор оцінювання цим методом запишеться у вигляді:
|
|
|
|
|
€ |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X S |
X X S |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
A |
|
Y . |
|
|
||||||
У матриці S 1 |
залежно від висунутої гіпотези виконується |
||||||||||||||
одна з трьох умов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
i |
|
1 |
; |
|
2) |
i |
|
1 |
; |
|
3) |
і |
u€2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
xij |
|
|
|
|
x2ij |
|
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доцільно спинитися на третій гіпотезі, оскільки йдеться про змішану гетероскедастичність.
Запишемо матрицю пояснюючих змінних:
10
1,00 |
200,00 |
22,00 |
2,00 |
|
|
210,00 |
21,00 |
3,00 |
|
1,00 |
|
|||
1,00 |
205,00 |
21,50 |
2,50 |
|
1,00 |
220,00 |
19,00 |
4,00 |
|
1,00 |
225,00 |
18,00 |
5,00 |
|
1,00 |
220,00 |
18,50 |
4,50 |
|
Х 1,00 |
230,00 |
16,00 |
6,00 |
. |
|
228,00 |
17,00 |
9,00 |
|
1,00 |
|
|||
1,00 |
240,00 |
15,00 |
10,00 |
|
1,00 |
250,00 |
12,00 |
11,00 |
|
1,00 |
255,00 |
11,00 |
11,00 |
|
|
260,00 |
11,00 |
|
|
1,00 |
12,00 |
|||
Знайдемо матрицю, транспоновану до матриці пояснюючих змінних:
|
1,00 |
|
|
1,00 |
1,00 |
|
1,00 |
|
1,00 |
1,00 |
1,00 |
1,00 |
|
1,00 |
|
1,00 |
1,00 |
1,00 |
|
||
200,00 |
210,00 |
205,00 |
220,00 |
225,00 |
220,00 |
230,00 |
228,00 240,00 |
250,00 |
255,00 |
260,00 . |
|||||||||||
Х |
22,00 |
|
|
21,00 |
21,50 |
19,00 |
18,00 |
18,50 |
16,00 |
17,00 |
|
15,00 |
12,00 |
11,00 |
11,00 |
|
|||||
|
2,00 |
|
|
3,00 |
2,50 |
|
4,00 |
|
5,00 |
4,50 |
6,00 |
9,00 |
|
10,00 |
11,00 |
11,00 |
12,00 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1,048 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,999 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,952 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0,816 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0,860 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
S |
1 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0,773 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0,472 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0,691 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0,408 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,349 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0,349 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,294 |
|
||||||||||||
Обчислюємо діагональні елементи матриці S 1 згідно з третьою моделлю залишків за тестом Глейсера:
|
|
u€ |
|
2 |
a€0 a€1 X 3 2 , |
або |
|
u€ |
|
2 |
1,11997 0,04813X 3 2 . |
|
|
|
|
Нарешті запишемо добуток останньої матриці та матриці S 1 : Перемножимо матрицю, транспоновану до матриці пояснюю-
чих змінних, та матрицю S 1 :
11
|
|
|
1,0 |
1,0 |
1,0 |
0,8 |
0,9 |
0,8 |
|
1 |
209,6 |
204,9 199,9 179,5 189,2 174,0 |
|||||
X S |
|
|
23,1 |
21,5 |
20,0 |
15,1 |
16,3 |
13,9 |
|
|
|
2,1 |
2,5 |
2,9 |
3,7 |
3,4 |
3,9 |
|
|
|
||||||
Продовження матриці S–1.
0,5 |
0,7 |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
||
107,5 |
158,9 |
97,9 |
87,2 |
88,9 |
76,5 |
|
|
. |
|||||||
8,0 |
11,1 |
6,1 |
4,2 |
3,8 |
3,2 |
||
4,2 |
4,1 |
4,1 |
3,8 |
3,8 |
3,5 |
|
|
|
|||||||
Матриця залежної змінної Y (попит на товар) має такий вигляд:
50,0051,0052,0055,00
54,00 Y 56,00 .
58,0060,0062,0064,00
65,0067,00
Перемножимо матрицю Х S 1 та вектор Y попиту на товар:
446,321
X S 1Y 994908022,9,1 .2463,87
Перемножимо матрицю Х S 1 |
та матрицю |
Х незалежних |
|||
змінних: |
|
|
|
|
|
|
8,01047 |
1773,97581 |
146,33183 |
42,0992 |
|
|
|
395075,267 |
31965,61685 |
|
|
X S 1X 1773,97581 |
9720,730565 . |
||||
146,331183 |
31965,61685 |
2762,153715 |
689,40742 |
|
|
|
42,0992 |
9720,730565 |
689,40742 |
299,235335 |
|
|
|
||||
Знайдемо матрицю, обернену до попередньої:
12