Избежать этой опасности (но одновременно и источника семантических интерпретаций) можно только допущением в математический дискурс примитивных терминов, строгое определение которых обеспечит единственность интерпретации. Но уже сам список примитивных терминов в достаточной степени очертит круг семантических концепций, с которыми имеет дело конкретный математический дискурс. Однако в процессе определения примитивных терминов делаются разъяснения (установление связи с другими терминами и пр.), которые обеспечивают то самое понимание на семантическом уровне, которое мы ищем в синтаксических структурах. Другими словами, наличие в формальном синтаксисе в стиле Тарского области интерпретации является фоновым семантическим фактором.
Другим семантическим фактором будет употребление знаков, скажем, нелогических констант. Как утверждает Д. Макбет, понятие строгого формального доказательства должно пониматься, так сказать, осмысленно: «Все, что требует строгость, - это чтобы в системе не делалось никаких шагов, кроме тех, которые разрешены аксиомами, определениями и данными правилами вывода, которые служат для обеспечения того, чтобы все предположения были сделаны явными. Хотя и верно, что возможность следовать правилам механически, как если бы нелогические примитивные знаки не имели никакого значения, может служить проверкой адекватности системы аксиом и определений, из этого просто не следует, что знаки следует воспринимать как пустые от всякого смысла и значения» [14. P. 37]. Далее Макбет ссылается на Фреге, и эта ссылка не является «проходной»: «.. .можно, конечно, употреблять числовые знаки механически, как можно говорить подобно попугаю... [Но] это возможно только после того, как посредством действительного мышления математический знаковый язык разовьется так, что он, как говорят, мысли за нас» (цит. по: [15. С. 18]). И далее Макбет продолжает цитирование Фреге, говоря, что «использование символов не должно приравниваться к бездумной, механической процедуре... Можно мыслить и символами» [16. P. 33].
Если Фреге прав, математики разрабатывают системы письменных знаков не для того, чтобы обойтись без всякого содержания, а для того, чтобы выразить содержание таким образом, чтобы на основе этого содержания можно было строить строгие рассуждения. Только что высказанное мнение Макбета о том, что нотация Фреге, первоначально кажущаяся очень трудно воспринимаемой, содержит на самом деле важные соображения о вхождении семантического содержания в синтаксические структуры, начинает обсуждаться более активно. Это означает, что истоки семантики могут зиждиться в нотационных особенностях.
Довольно любопытно, что проблемы соотношения семантики и синтаксиса в математическом дискурсе давно являлись предметом рассмотрения ранних аналитических философов, о чем говорит пример Фреге. И не только его. Недавно переоткрытая так называемая Подстановочная теория Рассела основана на понятии структурированной переменной, которая, будучи чисто синтаксическим элементом языка, тем не менее, содержит в себе семантические структуры [17]. Видимо, для установления проблематики соотношения понимания и доказательства в математическом дискурсе, помимо анализа собственно математического мышления, требуется обращение к логическим основаниям, еще более ранним, чем концепция логического следования Тарского.
В заключение мы хотим вернуться к идее о том, что математический дискурс осмыслен, несмотря на формальное его представление, являясь некоторой языковой игрой, где основное положение занимает понятие правила. Апелляция к понятию логической формы математического вывода фактически, согласно этой идее, равносильна применению чего-то более общего, схемы или правила, которое применяется не только в данном случае, но и в других, релевантных ему. Обращение к витгенштейновской идее с первого взгляда позволяет ликвидировать противопоставление логической формы понятию семантического содержания, содержания, существенного для понимания и истины. С точки зрения Макбета, как логический вывод, так и «содержательный вывод» является примером правила, которое применяется и в других случаях: «Например, умозаключение (материальное) от „Феликс- кошка“ к „Феликс-млекопитающее“ Этот вывод хорош, если он хорош, потому что из того, что нечто является кошкой, можно вообще сделать вывод, что это млекопитающее; вывод хорош (если он хорош), потому что выводы вида „х-кошка; следовательно, x-млекопитающее“ хороши. Вывод хорош не в силу того, что он касается Феликса. Хотя кто-то и делает какие-то выводы о Феликсе, обоснованность этого вывода объясняется не ссылкой на Феликса, а апелляцией к правилу, что-то вроде того, что быть кошкой означает быть млекопитающим» [14. Р. 39].
Выше приведен весьма неполный набросок путей преодоления конфликта между пониманием доказательства и его формальным представлением. Он дает представление о спектре возможностей в этом направлении. И все же остается ощущение, что центральный вопрос все больше обходит стороной математическую практику, склоняя его исходную формулировку либо в сторону логики или философии Витгенштейна, либо в сторону наивных предположений, что синтаксис сам по себе не является жизнеспособной идеей.
Работающий математик согласится с тем, что хотя любое умозаключение и справедливо в силу своей формы, действительное математическое рассуждение есть рассуждение из содержания понятий, из математических идей. Это содержание формируется в системе (по выражению Д. Гильберта) «хорошо подобранных определений». Определения выступают в обсуждаемом нами вопросе в двоякой роли: с одной стороны, это сокращения, с другой стороны, они представляют собой математическое содержание. Вполне разумно рассматривать их как искомый пункт контакта между формой и содержанием, между формальным доказательством и математическим пониманием. Действительно, «математики часто считают нахождение правильного / подходящего / корректного / естественного определения в качестве цели исследования, а успех-нахождение „правильного“ определения - значительным прогрессом в знаниях» [18. P. 256]. Уже сам перечень «добродетелей» определения говорит о том, что в них концентрируется понимание математического дискурса, поскольку сам эффект передоказывания теорем, с обсуждения которого мы начали статью, состоит в тривиализации сложного результата с помощью «хорошо подобранных определений». Результат такой тривиализации может считаться прогрессом в «понимании». Этого не могло бы случиться, будь определение простым нотационным сокращением. Это означает, что рассмотрение роли определений в экспликации концепции понимания математического дискурса является еще одним путем исследования этого феномена.
Наконец, пожалуй, самым трудным вопросом является то, в какой степени содержание математического дискурса зависит от нотационных факторов. Нотация принятой математической логики намеренно лишена содержания. Но может быть, другие нотационные системы более близки к тому, чтобы в них формулировать содержательные вещи. Такие нотационные варианты нужно искать в «нестандартных» представлениях математического доказательства. В качестве примера этого подхода можно говорить о роли диаграмм, двухмерных формул Begriffsschrift Фреге, алгебраических уравнений. Макбет заверяет нас, что Фреге преуспел в такого рода предприятии: «Фреге явно и сознательно разработал свою странную двумерную нотацию, чтобы выразить математическое содержание таким образом, который позволял бы строгое рассуждение на основе этого содержания. И в части III своей логики 1879 г. он доказывает теорему на основе явных определений, которая призвана точно проиллюстрировать, как строго дедуктивное доказательство в его языке может быть амплиативным, то есть представлять собой реальное расширение нашего знания. Если Фреге прав, то его язык - это именно то, что нам нужно показать, а не просто способ описать как содержание математических понятий, так и цепочки рассуждений, которые ведут нас от определений понятий к теоремам, раскрывающим логические отношения между этими определенными понятиями. Конечно, мы не сможем даже начать понимать, как это могло быть так, пока мы продолжаем читать его нотацию как просто вариант нашей собственной» [14. P. 50-51].
Правда, освоение фрегевской нотации представляет не меньшие трудности для понимания математического дискурса. Но может быть, дело в том, что и это является особой языковой игрой. Витгенштейн часто прибегал при обсуждении этого понятия к шахматам. Тогда все согласятся с тем, что шахматы требуют практики и умения, дабы видеть смысл в позициях и таким образом понимать всю игру. И опять-таки, проблема понимания такой знаковой системы как математическое доказательство должна решаться обращением к понятию языковой игры. В какой степени данный подход окажется плодотворным, а не просто поверхностной аналогией, зависит от множества факторов, требующих дополнительного исследования.
Литература
1. Dawson J. W. Why Prove It Again. New York : Springer, 2015.
2. AvigadJ. Understanding Proofs // The Philosophy of Mathematical Practice / ed. P. Mancosu. Oxford : Oxford University Press, 2008. P. 316-353.
3. Хакинг Я. Почему вообще существует философия математики? М. : Канон+, 2020.
4. Suppes Р. Introduction to Logic. New York : Van Nostrand Reinhold, 1957.
5. Avigad J. Mathematical Method and Proof // Synthese. 2006. Vol. 153. P. 105-159.
6. Azzouni J. Tracking Reason: Proof, Consequence, and Truth. Oxford : Oxford University Press, 2006.
7. Ладов В.А. Иллюзия значения: проблема следования правилу в аналитической философии. Томск : Изд-во Том. гос. ун-та, 2008.
8. Manders K. Logic and Conceptual Relationship in Mathematics // Logic Colloquium'85. North-Holland : Elsevier Science, 1987. P. 193-211.
9. Rav Y. Why Do We Prove Theorems? // Philosophia Mathematica. 1999. Vol. 7. P. 5-41.
10. Целищев В.В. Алгоритмизация мышления: геделевский аргумент. Новосибирск : Параллель. 2005.
11. Thurston W. On Proof and Progress in Mathematics // 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics / ed. R. Hersh. New York : Springer, 2006. P. 37-55.
12. PattersenD. Alfred Tarski: Philosophy of language and logic. Palgrave, 2012.
13. Nagel E. The Formation of Modern Conceptions of Formal Logic in the Development of Geometry // Teleology Revisited and Other Essays in the Philosophy and History of Science. New York : Columbia University Press, 1979. P. 130м152.
14. Macbeth D. Proof and Understanding in Mathematical Practice // Philosophia Scientiae. 2012. Vol. 16 (1). P. 29-54.
15. Фреге Г. Основоположения арифметики / пер. В.А. Суровцева. Томск : Водолей, 2000.
16. Frege G. Philosophical and Mathematical Correspondence / G. Gabriel et al. (eds.). Chicago : University of Chicago Press, 1980.
17. HalimiD. Structured Variables // Philosophia Mathematica. 2013. Vol. 21, № 2. P. 220-246.
18. Tappenden J. Mathematical Concepts and Definitions // The Philosophy of Mathematical Practice / ed. Mancosu P. Oxford : Oxford University Press, 2008.
References
1. Dawson, J.W. (2015) Why Prove It Again. New York: Springer.
2. Avigad, J. (2008) Understanding Proofs. In: Mancosu, P. (ed.) (2008) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press. pp. 316-353.
3. Hacking, I. (2020) Why is There Philosophy of Mathematics? Moscow: Canon+.
4. Suppes, Р. (1957) Introduction to Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
5. Avigad, J. (2006) Mathematical Method and Proof. Synthese. 153. pp. 105-159. DOI: 10.1007/s11229-005-4064-5
6. Azzouni, J. (2006) Tracking Reason: Proof, Consequence, and Truth. Oxford: Oxford University Press.
7. Ladov, V.A. (2008) Illyuziya znacheniya: problema sledovaniya pravilu v analiticheskoy filosofii [The illusion of meaning: the rule-following problem in analytic philosophy]. Tomsk: Tomsk State University.
8. Manders, K. (1987) Logic and Conceptual Relationship in Mathematics. In: The Paris Logic Group. (ed.) Logic Colloquium'85. North-Holland: Elsevier Science. pp. 193-211.
9. Rav, Y. (1999) Why Do We Prove Theorems? Philosophia Mathematica. 7. pp. 5-41. DOI: 10.1093/philmat/7.1.5
10. Tselischev, V.V. (2005) Algoritmizatsiya myshleniya: gedelevskiy argument [Algorithmization of Reason: Goedel's Argument]. Novosibirsk: Parallel.
11. Thurston, W. (2006) On Proof and Progress in Mathematics. In: Hersh, R. (ed.) 18 Unconventional Essays on the Nature of Mathematics. New York: Springer. pp. 37-55.
12. Pattersen, D. (2012) Alfred Tarski: Philosophy of Language and Logic. Palgrave.
13. Nagel, E. (1979) Teleology Revisited and Other Essays in the Philosophy and History of Science. New York: Columbia University Press. pp. 130-152.
14. Macbeth, D. (2012) Proof and Understanding in Mathematical Practice. Philosophia Scienti- ae. 16(1). pp. 29-54. DOI: 10.4000/philosophiascientiae.712
15. Frege, G. (2000) Osnovopolozheniya arfmetiki [The Foundation of Arithmetic]. Translated from English by V.A. Surovtsev. Tomsk: Vodoley.
16. Frege, G. (1980) Philosophical and Mathematical Correspondence. Chicago: University of Chicago Press.
17. Halimi, D. (2013) Structured Variables. PhilosophiaMathematica. 21(2). pp. 220-246. DOI: 10.1093/philmat/nkt013
18. Tappenden, J. (2008) Mathematical Concepts and Definitions. In: Mancosu, P. (ed.) The Philosophy of Mathematical Practice. Oxford: Oxford University Press.
Аннотация
Доказательство против понимания в математическом доказательстве. В.В. Целищев, А.В. Хлебалин
Статья посвящена исследованию соотношения концепций понимания и доказательства в математической практике. Анализируются две концепции математического доказателсьвто - как вычисления и как понимания. Показано, что традиционное противопоставление этих концепций не соответствует практике математического доказательства; что использование формального вывода в доказательстве требует семантической интерпретации. Указаны, ключевые факторы. «вхождения» семантического содержания в синтаксические структуры, вывода: нотация и интерпретация нелогических констант.
Ключевые слова: понимания, доказательство, семантика, синтаксис, нотация, интерпретация.
Abstract
Proof versus understanding in mathematical proof. Vitaliy V. Tselishchev, Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk, Russian Federation).
Aleksandr V. Khlebalin, Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (Novosibirsk, Russian Federation).
The interpretation of the nature of mathematical proof contrasts its two interpretations: as understanding and as calculations. The concept of rigorous proof is due to Alfred Tarski; according to it, mathematical proof is a sequence of sentences starting with axioms, each of which is a logical consequence of previous sentences. According to this ideal, rigorous proof breaks the real “train of thought” of the mathematician into small steps, each of which is authorized by the rules for deriving the formal system. But real mathematical practice completely avoids the realization of such an ideal, while implying that the ideal is true “in principle”.