Магистерская работа: Физическая модель слоистой среды на основе амплитудно-частотных характеристик сейсмических волн

Рассматривается /13/ слоистая идеально-упругая среда (рисунок 1.2) между параллельными слоями которой выполнены условия жесткого контакта. Плоскость  совпадает с границей верхнего слоя, котораяявляется свободной. Нижний слой(N)однородный и бесконечный в направлении оси , характеризуется скоростями продольной и поперечной волн , , полностью . Каждый промежуточный слой(1, … N-1),  и полностью неоднородной среды.

Считается, что напряжение и смещение не зависят от y координаты и изменения физических характеристик , ,  в латеральном направлении (по координате х) являются небольшими, так что поле смещений, рассеянное на такой неоднородности, по порядку меньше поля, рассеянного на неоднородности физических характеристик в вертикальном направлении (по координате ). Ставится задача определения зависимости от времени поля смещений на границе  полупространства, когда источник колебаний  находится на  и это поле удовлетворяет условию равенства нулю на бесконечности.

Определение поля смещений  расчет теоретический сейсмограммыдля указанной модели - состоит в решении системы уравнении движения,когда выполняется законГука:

, (1.22)

где i

коэффициенты Ламе,

 - символ Кронекера.

Рисунок 1.2 - Модель идеально-упругого горизонтально-слоистого полупространства, в m-ом слое которого плотность и скорость распределения продольных и поперечных волн являются неоднородными по двум координатам . Источник (И) и приемник (П) размещены на свободной границе полупространства

-компоненты напряжений в декартовых координатах, значение индексов 1,2,3 эквиваленты обозначению .

Подразумевается, что после напряжений-смещений неявно зависит от времени . угловая частота, тогда равенства (1.22) можно записать в матричном виде /13/. Для волн P-SV:

, (1.23)

где  , ;

для волн SH:

(1.24)

Если представить неоднородность в виде

и ввести обозначения

,

;

тогда уравнения (1.23), (1.24) можно записать в общем виде

 (1.25)

где - операторная матрица из латерально-однородной среде;

- операторная матрица, зависит от «мер неоднородности» .

Для P-SV - волн

где  ,

Для случая SHволн

 ,

В результате применения к уравнению (1.25) преобразование Фурье (1.4) учета во втором члене леммы Бореля, заключающейся в том, что Фурье-преобразование произведения матриц равно свертке их фурье-трансформант, получают

, (1.26)

где для P-SV волн

Для SHволн

 ,

Если правый член в уравнении (1.26) нулевая матрица, то оно описывает латерально-однородную среду.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что еслии матрицы комплексных функций, то при исходных условиях решение уравнения.

 (1.27)

имеет вид

 (1.28)

где  - матрица- пропагатор для вертикально-неоднородного слоя /77/

Еслиматрица порядка n×1, то при тех же исходных условиях решение уравнения

 (1.29)

можно представить в виде

 (1.30)

Уравнение (1.26) для совпадает с (1.29), когда

 (1.31)

Тогда решение уравнение (1.36) имеет вид

 (1.32)

Когда , определяемое формулой (1.31), нулевая матрица, уравнение (1.26) приобретает вид, аналогичный (1.27) и его решением является

(1.33)

По условию задачи

,

,

.

В работе /16/ для представления поля  делятся следующее допущение:

 (1.34)

 (1.35)

где - поле напряжения-смещения в латерально-однородной среде;

 - поле, рассеянное на горизонтальных неоднородностях;

В результате, применения к (1.34) преобразования (1.4) после подстановки в (1.32) получают окончательно

 (1.36)

Крайний правый член в уравнении (1.36) определяет мультипольное рассеяние в. При условии (1.35)

мультипольное рассеяние не учитывается.

Далее показано, что такое неравенство можно привести к виду

(1.37)

где - максимальное значение используемого;

,  - вертикальный и горизонтальный размер неоднородности,

где , , , , , ;

- усредненный коэффициент Ламе и плотность по толщине, содержащей неоднородность.

Если крайний правый член в (1.36) отбросить, как величину второго порядка малости, то решение уравнения (1.26) для рассеянного поля можно представить в виде

Таким образом вклад неоднородности представляется как некоторый источник, распределенный в объеме, размеры и физические характеристики которого определяются неравенством (1.37). Когда условие (1.37) не удовлетворяется, тогда имеют место мультипольные эффекты и в рассеянном поле надо учитывать члены второго и более высоких порядков малости.

Далее при рассмотрении распространения волн в горизонтально- неоднородной среде Кеннетом применен матричный метод для слоистой; среды, при этом каждый пропагатор уже описывал распространение волн в i-ом слое. В работе автора /16/ предложена методика расчета сейсмограмм на свободной границе полупространства, когда горизонтальная неоднородность находится в одном из слоев. Эта методика изложена во втором разделе.

Широкий класс задач сейсмологии допускает при теоретическом рассмотрении сейсмических волн применять закон Гука для идеально- упругого тела. Однако, актуальной является необходимость учета тех особенностей распространения и затухания упругих колебаний, которые нельзя объяснить в рамках теории для идеально-упругой модели среды.

Известен ряд подходов к учету диссипации энергии упругих волн в моделях сред. Способы учета диссипации энергии распространяющихся волн и расчета, получающейся при этом дисперсии фазовой скорости и добротности для моделей реальных сред, рассмотрены в следующем подразделе.

.3 Распространение сейсмических волн при влиянии неидеальной упругости среды

Отдельное место в матричном методе занимают задачи для сред, в которых происходит потеря энергии при распространении волн. Матричный метод разработан для диссипативной модели с последействием /12/, для вязкоупругих сред и для пористых сред с применением теории Френкеля-Био. В работе /12/изложена методика расчета теоретических сейсмограмм на поверхности слоистой неидеально-упругой среды (рисунок 1.1), когда каждый слой характеризуется дополнительно добротностями распространения продольных и поперечных волн. Источник колебаний находится на бесконечности в положительном направлении оси z.

1.3.1 Учет неидеальной упругости при помощи эмпирического подхода

Пусть в некотором объеме V тела, ограниченного поверхностью S , распространяется сейсмическая волна. Согласно первому началу термодинамики для отрезка времени имеет место соотношение:

выполненная механическая работа + количество выделенного тепла == увеличению внутренней и кинетической энергии тела.

В этом соотношении второе слагаемое левой части равенства можно представить в виде где  - скорость распространения тепла через единичную площадку, перпендикулярную единичному вектору . Адиабатическая деформация - характерное явление в сейсмологии для длин волн больших нескольких миллиметров /17/, поэтому, = 0 и, следовательно, энергия механических колебаний должна переходить вовнутреннюю и кинетическую энергию частиц среды.

Обширные данные о затухании сейсмических волн приводятся в работах /17-19/. Для получения этих данных авторы используют результаты полевых и лабораторных исследований горных пород /16/. Большое количество данных о диссипации энергии сейсмических волн привело к необходимости построить теорию, которая давала бы возможность одновременно учитывать затухание распространяющихся Р и S волн, а также определять значения волновых диссипативных параметров в области сейсмических частот.

Классическими моделями, описывающими неупругое поведение сред являются: тела Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартное линейное тело /12/. Отметим отрицательные явления, характерные для классических моделей, а потом запишем уравнение с последействием, где они отсутствуют. В теле Кельвина-Фойгта при уменьшении релаксационных модулей до нуля, т.е. при переходе к гуковскому телу, имеем уменьшение продольного и сдвигового напряжений, что противоречит молекулярной сущности деформации. В теле Максвелла при фиксированном напряжении деформация неограниченно растет, поэтому уравнение имеет смысл только для сдвиговых напряжений, когда тело течет. В стандартном линейном теле отсутствуют отрицательные свойства отмеченные для тел Кельвина-Фойгта и Максвелла. Однако, горные породы ведут себя при распространении волн существенно иначе, чем это можно предвидеть при помощи классических моделей. Это объясняется одновременным существованием множества диссипативных механизмов. Кроме того, из уравнений движений, в которых используются все три типа тел, следует существенная зависимость декрементов затухания от частоты, что противоречит большинству опытных данных.