Курсовая работа (т): Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

В некоторых задачах физики и механики бывает необходимо по данному семейству кривых построить семейство ортогональных к ним кривых (ортогональность двух кривых в точке их пересечения понимается, естественно, как ортогональность касательных к ним).

Рис.4. Ортогональные семейства кривых

Пусть нам задано семейство, описываемое уравнением с параметром

Для построения ортогонального семейства нам необходимо вычислить касательные к кривым исходного семейства. Пусть у(х) одна из кривых. Тогда Дифференцируя, получаем

Откуда

Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой семейства, проходящей через точку (х, y), может быть вычислен без знания самой кривой. Но тогда угловой коэффициент касательной к кривой из ортогонального семейства мы тоже можем вычислить (условие ортогональности прямых):

Это и есть уравнение ортогонального семейства. Например, для семейства окружностей получаем уравнение ортогонального семейства кривых: . Решения этого уравнения - семейство прямых у = Сх, действительно ортогональных к окружностям.

. Уравнение химической кинетики

Скорость реакции пропорциональна количеству каждого из реагирующих веществ. Опишем математически химическую реакцию. Пусть имеются два вещества А и Б, и из них в результате реакции образуется вещество X. Количества веществ А, В и X в момент времени t обозначим, соответственно, через и.Тогда

где k - коэффициент пропорциональности. Оказывается, величины а(t) и b(t) можно выразить через x(t): ведь в любой химической реакции количества веществ А и В, необходимых для образования единицы вещества X, строго фиксированы и определяются формулой реакции! Пусть на единицу вещества Х необходимо вещества A и  вещества В. Тогда ,  (здесь , - начальные количества реагирующих веществ), и мы получаем уравнение

  (10)

Аналогично в случае трех реагирующих веществ и одною на выходе получается уравнение

  (11)

Уравнения (10) и (11) и называют обычно уравнениями химической кинетики.

. Реактивное движение

Одним из фундаментальных законов физики является закон сохранения импульса: при распаде тела на части сумма импульсов каждой из частей равна импульсу тела до распада. И хоть этот закон обычно представляется связанным с одноактным действием (одно тело единожды распалось), его оказывается разумным использовать и в более сложных процессах, когда от тела последовательно отпадают части, как идеализация этого процесса (когда части очень мелкие и их очень много и интервал между их отпадениями

Рис.5. Закон реактивного движения

очень мал) - когда из тела непрерывно вытекает (вылетает, высыпается) какая-то масса. Именно в такой форме и записывается закон реактивного движения:

  (12)

или (если, как обычно, обозначать через )

  (13)

Здесь и соответственно масса и скорость ракеты в момент времени t, V - скорость истечения горючего из ракеты (точнее, это - V: обычно систему координат направляют вдоль движения ракеты, тогда горючее вытекает с отрицательной скоростью, и именно ее обозначают - V, где V - положительное число, равное абсолютной величине мой скорости). Разность - это масса вытекшего горючего, а - V - его скорость в неподвижной системе координат (напомним, что - V - это скорость движения вытекающего горючего относительно ракеты). На самом деле равенство в (12)-(13) не является вполне точным, так как процесс истечения горючего и изменения скорости происходит не «толчком», а непрерывно. Однако если промежуток времени  уменьшать, то равенство перейдет в точное равенство отношению дифференциалов

  (14)

или производных

          (15)

(если предварительно его разделить на ). После несложных преобразований получаем закон реактивного движения

или, через производные,

который иногда записывают в форме:

. Из пушки на Луну

Еще один известный «космический» сюжет: тело (в классической интерпретации - барона Мюнхгаузена) «выстреливается» с Земли в направлении Луны и долетает до нее в свободном полете. Опишем закон полета. Пусть полет происходит по прямой, соединяющей центры Луны и Земли (расстояние между центрами обозначим R), расстояние до летящего тела от центра Земли в момент времени t будет описываться функцией  (таким образом, в начальный момент времени , в конечный  ). Если масса тела m, то сила притяжения Земли равна

, cила притяжения Луны , и второй закон Ньютона дает нам уравнение полета на Луну:

Рис.6. Полет от Земли до Луны

. Форма равновесия жидкости во вращающемся сосуде

цепь тепло реактивное равновесие жидкость

Пусть у нас есть цилиндрический сосуд, вращающийся вокруг своей оси с угловой скоростью . Поверхность жидкости при этом не остается плоской, а принимает форму поверхности вращения некоторой кривой. Выведем уравнение этой кривой. Для этого воспользуемся тем фактом, что частица, движущаяся по окружности радиуса r с угловой скоростью , должна иметь ускорение, равное направленное к центру окружности. Рассмотрим сечение сосуда плоскостью, проходящей через ось вращения. Пусть независимая переменная  описывает расстояние от точки до оси вращения, а  - форма поверхности. Изобразим ускорение. Откуда оно взялось? Конечно же, как результат (сумма) различных воздействий. Прежде всего, это - сила тяжести (она дает ускорение , направленное вертикально вниз) и сила упругой реакции самой жидкости (она дает ускорение, направленное по нормали к поверхности). Величина силы реакции и придаваемое ею ускорение нам неизвестны, но, поскольку частицы на поверхности жидкости двигаются в горизонтальной плоскости по окружностям, естественно предполагать, что реакция жидкости «компенсирует» вертикальную тяжесть, и при этом ее горизонтальная

Рис.7. Форма жидкости во вращающемся сосуде

Рис.8. Вид сверху: частица, движущаяся по окружности, должна иметь ускорение, направленное к центру

Рис.8. Вид сбоку (сечение)

составляющая и придает частицам ускорение . Изобразим силы на чертеже:

Чтобы записать соответствующие уравнения, обозначим через В абсолютную величину ускорения, придаваемого частице реакцией жидкости, расположим ось x горизонтально и направим ее вправо, ось у вертикально и направим ее вверх, угол, образуемый касательной к точке кривой у(r) с

Рис.9. Изобразим наши ускорения на чертеже

положительным направлением оси r, обозначим через. Тогда угол между направлением реакции жидкости и положительным направлением оси r равен, вертикальная проекция ускорения реакции жидкости равна, а горизонтальная . Получаем:

откуда, исключая В, получаем

Остается вспомнить, что - это производная и получить уравнение поверхности вращающейся жидкости

8. Фокусирующее зеркало

Пусть у нас есть отражающая поверхность (в плоской интерпретации отражающая кривая), позволяющая отразить параллельный пучок лучей в пучок, сходящийся в одну точку. Постараемся описать эту кривую. Для этого нам понадобится закон отражения лучей, который, для случая плоскости, мы прекрасно знаем (угол падения равен углу отражения), но который, в случае кривой поверхности, мы не сможем сформулировать. Для неплоского случая закон не намного сложнее плоского: луч, падающий в точку х поверхности, отражается от нее так же, как и от плоскости, касающейся в этой точке нашей поверхности.

Запишем задачу в математической форме. Для этого в качестве начала координат удобно взять как раз ту точку, в которую будут собираться лучи, за положительное направление движения лучей и эту ось обозначим через х, другую ось обозначим через у, а функцию, описывающую форму зеркала, - через у(х). Нарисуем траекторию луча, отразившегося в точке нашей кривой, и касательную, проходящую через эту точку. Поскольку до отражения луч шел

Рис.10. Фокусирующее зеркало

горизонтально, угол падения луча  совпадает с углом, образованным касательной,

Вычислим угол отражения. Для этого заметим, что в треугольнике МОА (точка А - это точка пересечения касательной с осью абсцисс) угол МО - его внешний угол и он равен сумме двух внутренних, одни из которых - это угол отражения, а другой - угловой коэффициент касательной, то есть опять же. Поскольку угол МО - это угол поворота вектора (х,у(х)), его тангенс равен отношению, откуда получаем

В принципе можно было бы выразить из уравнений (16) и (17) углы  и  (или их тангенсы) и воспользоваться законом отражения , воспользовавшись тем, что  равен , а он, в свою очередь, в силу (16) равен у'(х), подставим их в (17) с раскрытым тангенсом суммы. В результате получается уравнение

являющееся уравнением фокусирующего зеркала. Решение этого уравнения не гипербола, а парабола  (а - параметр).

Получаем параболоид вращения (образуемый вращением этой параболы).

9. Висящая цепь

Задачу эту относят к классическим задачам математики. Она возникла еще в Древней Греции. Состоит она в том, чтобы определить длину цепи, подвешенной за концы (в античной формулировке эта цепь перегораживала вход в город). Мы несколько расширим задачу и постараемся определить форму цепи (при этом длина ее будет вычисляться по классическим формулам из анализа).

Рис.11. Висящая цепь

Пусть наша цепь описывается функцией у(х), заданной на некотором отрезке [а,b]. Напишем условия для этой функции, при выполнении которых цепь будет находиться в равновесии. Для этого определим действующие на нее силы. Прежде всего - это сила тяжести. На любой участок цепи [х, х+х] она действует с силой, равной

  (18)

здесь  - линейная плотность цени (т.е. масса на единицу длины) в точке  - дифференциал дуги кривой. Интеграл, по существу, есть соответствующего участка цепи. Эта сила направлена вниз.