Документ: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами, страницы 741-745

Оценивание

параметров

обыкновенных

дифференциальных

уравнений

713

Следующие данные были взяты из экспериментов по высушиванию:

У, кг Н2 0/кг	,	У, кг Н2 0/кг	, M W „
сухого вещества	' т и н	сухого вещества	'
0,1834	0,9	0,1313	1,2
0,1634	1,0	0,1198	1,3
0,1460	1,1	0,1117	1,4

Начиная с приращений A.Y при t = 0,9 мин, вычислите ДУ Г

А2 У и т. д. и подсчитайте (Л7<Й) < = 0 , 9 . Затем вычислите				дисперсию
производной,		предполагая, что дисперсия каждого наблюдаемого
значения	Y	составляет 1% от значения в таблице.
9.15. Примените метод наискорейшего спуска для оценивания
методом	наименьших квадратов параметров		модели	т) = ß 0 +
+ Ріж і + р 2 ж ?		Для непрерывных данных. Нарисуйте блок-схему
для расчета		на аналоговой вычислительной	машине.

9.16.Используйте метод ошибки уравнения для оценивания коэффициентов модели в задаче 9.5 для непрерывного отклика. Для проведения расчетов используйте вычислительную машину гибридного типа или аналоговый модулятор типа MIMIC цифровой вычислительной машины. Выберите определенные значения пара метров дифференциального уравнения и добавьте к отклику Y известную нормальную случайную ошибку.

9.17.Выполните решение задачи 9.16 с помощью метода после довательного оценивания. Может возникнуть необходимость использовать конечные оценки • параметров, полученные этим методом, в качестве начальных предположений для повторного проведения процедуры оценивания.

9.18.В табл. 3.9.18 указан выход (концентрация) нужного компонента Р, образующегося в следующей реакции:

А+В-+Р, А + Р-^В.

Так как начальная концентрация компонента А была много боль ше, чем В, то количество А, расходуемое в реакции, было неболь шим и концентрацию А можно было считать практически постоян ной.

Допустим, что предлагаемая модель системы реакций имеет следующий вид (начальные концентрации известны):

dcA	— — k\C g — k2c p,	cA(0)	=	CA0
dt	— — k\C g — k2c p,	cA(0)	=	CA0
dt
des	= — kiCß,	cB(0)	=	СВ0:
dt				(a>
dcp		C p ( 0 )		(a>
dcp	— kiCß — k2Cp,	C p ( 0 )
dt

cß (0) = 0.

7 1 4			Глава	9
			Р (моль/л) - 102 при		Таблица	3.9.18
		К о н ц е н т р а ц и я	Р (моль/л) - 102 при		70 °С
Опыт	С В о , моль/л			t, ч
Опыт	С В о , моль/л		2	4	8	16
		1	2	4	8	16
1	1	3,17	5,39	8,66	15,9	22,6
2	1	14,7	23,4	34,3	34,6	20,3
3	2	4,80	10,8	22,5	34,6	42,0
4	2	23,2	39,0	55,6	63,4	41,6
5	1	3,72	3,81	17,2	20,0	23,9
6	1	17,9	28,3	40,5	34,2	21,6
7	2	8,60	13,3	25,9	39,8	50,8
8	2	30,9	51,4	72,2	76,4	38,9
9	1	7,48	9,93	20,0	30,9	24,9
10	1	25,3	35,3	39,1	28,4	7,50
11	2	13,3	27,1	43,0	58,0	49,4
12	2	50,8	75,6	84,2	57,0	11,5
13	1	9,15	15,8	27,5	33,9	23,0
14	1	30,8	44,4	46,7	24,9	2,94
15	2	22,8	37,2	57,9	69,1	53,9
16	2	62,6	88,0	89,5	43,4	5,80

а)

По

данным табл. 3.9.18

оцените значения &t и

к2.

б)

Постройте

совместную доверительную область для кі

и

к2

{доверительные

вероятности

80

и

95%).

в) Отложите на графике и проанализируйте остатки в каждом

опыте.

ЛИТЕРАТУРА

1. Collatz

L . ,

The

Numerical

Treatment

of Differential Equations, Springer-

Verlag,

Berlin,

1960;

есть

р у с с к и й

перевод: К о л л а т ц

JL,

Численные

ме

тоды

решения

дифференциальных

уравнений,

И Л ,

1953.

2.

Kaplan

W . , Ordinary Differential Equations, Addison-Wesley, Reading,

Mass.

1958.

Ind.

Eng.

Chem.,

3. Carberry J . J . ,

56

(11), 39

(1964).

4 .

Wilkes

J. 0 . , . The Finite Difference Computation on

Natural

Convection

i n

an

Enclosed

Rectangular Cavity, Ph. D . Thesis,

U n i v . of

Michigan,

Ann .

Arbor,

1963.

5.

Henrici

P., Discrete Variable Methods on Ordinary Differential

Equations,

W i l e y ,

N . Y . , 1962.

6.

Lapidus

L . , Digital Computation

for

Chemical

Engineers, M c G r a w - H i l l ,

N . Y . ,

1962.

7.

Certaine J., The

Solution

of Ordinary

Differential Equations w i t h

Large

Time Constants, i n : Mathematical Methods for Digital Computers, Ralston A - ,

W i l f

H . S.

(eds.), W i l e y ,

N . Y . ,

1960.

8.

Ball W .

E.,

Groenweghe L . C.

D . ,

Ind.

Eng.

ChemFundamentals,

5,

181

(1966).

9.

Fehlberg E . , Numerically

Stable

Interpolation Formulas

w i t h

Favorable

Error Propagation for First and

Second Order

Differential

Equations,

Techn.

Note D-599, National Aeronautics and

Space

Administration,

March

1961.

10. Hamming R. W . , Stable Predictor-Corrector Methods for Ordinary

Diffe

rential

Equations, / .

ACM,

6,

37

(1959).

	Оценивание		параметров	обыкновенных		дифференциальных			уравнений		715
11. Young Р . С., Simulation,				125 (March		1968).
12.	Mishkin	Е . ,	Braun L . ,	Adaptive	Control		Systems,	M c G r a w - H i l l ,		N . Y . ,
	1961.
13.	Himmelblau D . M . , Jones C. R., Bischoff К . В . , Ind.							Eng.	Chem.	Funda
	mentals,	6,	539 (1967).
14.	Loeb J.,	Cahen G., Automatisme,			8,	479	(1963).
15.	Carney T . M . , Goldwyn			R. M . , / . Opt.		Theory and		Applications,		1,	113
	(1967).
16.	Kaiman	R. E . , New Methods and			Results		i n Linear	Prediction and			F i l
	tering Theory, in : Proceedings of				the First Symposium on Engineering
	Application		of Random	Function	Theory and Probability, W i l e y ,					N . Y . ,
	1963.
17.	Bellman	R. E., Kalaba		R. E., Quasilinearization and Nonlinear Boun
	dary-Value Problems, American Elsevier, N . Y . , 1965, Ch. 1; есть русский
	перевод:	Беллман Р . , Калаба Р . , Квазилинеаризация и нелинейные
	краевые	задачи, изд-во		«Мир»,	1968.
18.	Donnelly	J. К . , Quon		D . , Preprint 19F, Second				Joint	A I C h E - I I Q P R
	Meeting,	Tampa, Fla., May 1968.

19.Bellman R. E . , Jacquez J., Kalaba R. E., Schwimmer S., Rand Memoran dum RM-4721-NIH, Aug. 1965.

20. A s t r ö m

К . J., Preprints of the

International

Federation

of

Automatic

Control,

Paper

1.8,

Prague, Czechoslovakia,

June

1967.

•21 .

Cramer

H . , Mathematical Methods of Statistics,

Princeton

U n i v .

Press,

Princeton, N . J . , 1946.

AIChE

J.,

22.

Thaller

L . H . , Thodos

G.,

6,

369

(1960).

23.

Svirbely W .

J., Blaner

J. A . , J.

Amer.

Chem.

Soc,

83,

4118 (1961).

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Общие

вопросы

Cuenod

M . , Sage A . P., Comparison

of

Some Methods Used

for Process

Identification,

Automatica,

4, 235 (1968).

Deutsch

R.,

Estimation Theory,

Prentice-Hall,

Englewood

Cliffs,

N . J . ,

1965.

D . W . , H a l l J. G., Phys.

Fluids,

Eschenroeder A . Q., Boyer

5,

615

(1962).

Eykhoff

P.,

IEEE

Trans.

Auto.

Control,

AC8,

347

(1963).

Eykhoff

P.,

Process Parameter and

State

Estimation,

Automatica,

4, 205

(1968).

D . Q., Parameter Estimation, Automatica,

Mayne

3,

245

(1966).

Stevenson

P. C.,

Processing of Counting Data,

National Academy of Scien

ces,

NRC, 1966,

Ch.

6.

Оценивание методом н а и м е н ь ш и х квадратов

Aberbach L . В . , Estimation of

Parameters

i n

Differential

Equations,

Ph. D .

Dissertation, Princeton Univ . , Princeton, N . J . , 1967.

Bekey G. A . , McGhee R. В . , Gradient Methods for the Optimization of

Dynamic System

Parameters by

H y b r i d

Computation,

in : Computing Methods

for

Optimization Problems,

Balakrishnan

A . V . , Neustadt L . W . , (eds.),

Acade

mic Press, N . Y . , 1964, p. 305.

Box G. E. P.,

Use of Statistical Methods in the

Elucidation of Basic

Mecha

nisms,

Bull.

Inst,

de

Statistique,

36,

215

(1957).

Box G. E . P., Coutie

G. A . , Application of D i g i t a l Computers

i n the

Explo

ration

of Functional

Relationships,

Proc.

Inst.

Elec.

Eng.

(London), 103B,

Supl.

1, 100 (1956).

Techno

Box G. E. P., Hunter W . G., A Useful Method for Model Building,

metrics,

4,

301

(1962).

716						Глава		9
Hartley H . О., The Estimation of Nonlinear Parameters by Internal Least
Squares, Biometrika,			35,	32	(1948).
Meissinger		H . F., Bekey G. A . ,					A n	Analysis of Continuous		Parameter
Identification		Methods,		Simulation,		6,	94 (Feb.		1966).
Rubin A . I . , Driban S., Miessner W . W . , Regression Analysis and Para
meter	Identification,		Simulation,			7,	39	(July,	1967).
		Оценивание с помощью ошибки уравнения
Graupe К . К . , The Analog Solution of Some Functional Analysis										Problems,
Trans.	AIEE	Comm.	and		Electronics,		79, 793		(1960).
Hoberock		L . I . , Kohr R. H . ,				A n	Experimental Determination			of Diffe

rential Equations to Describe Simple Nonlinear Systems, Joint Automatic

Control

Conference

Preprints,

1966,

p.

616.

Lion P. M . , Rapid Identification of Linear

and

Nonlinear

Systems,

Joint

Automatic

Control

Conference

Preprints,

1966,

p.

605.

Последовательное оценивание

Davenport

W . В . , Root W . L . , A n

Introduction

to the Theory of Ran

dom

Signals

and

Noise,

M c G r a w - H i l l ,

N . Y . ,

1958;

есть русский

перевод:

Девенпорт

Р . ,

Ру т

В . ,

Введение в

теорию случайных

сигналов

и ш у м о в ,

И Л ,

1960.

Detchmendy D . M . , Sridhar

R.,

Sequential

Estimation

of States and

Para

meters

i n

Noisy

Nonlinear

Dynamic

Systems,

Trans.

ASME,

J. Basic

Eng.,

88D,

362

(1966).

Friendlander

В . ,

Bernstein

I . , Estimation

of

a

Nonlinear

Process i n

the

Presence of non Gaussian Noise

and

Disturbances,

/ .

Franklin

Inst.,

281,

455

(1966).

Ho

Y . C ,

Lee R. C. K . , A

Bayesian

Approach

to Problems i n Stochastic

Estimation

and

Control,

IEEE

Trans.,

AC-9, 333

(1964).

Inf.

Ho

Y .

C ,

Lee R. С. K . , Identification of

Linear

Dynamic Systems,

and

Control,

8,

93 (1965).

Kaiman

R.

E . , Bucy R. S.,

New Results i n Linear Filtering and Prediction

Theory,

Trans.

ASME,

J.

Basic

Eng., 83D, 95

(1961).

Rosenbrock

H .

H . ,

Storey

C ,

Computation

Techniques

for

Chemical

Engineers, Pergamon Press, Oxford, 1966, Ch. 8; есть русский перевод: Ро -

аенброк X . , Стори С ,	Вычислительные методы для инженеров - химиков,
изд-во «Мир», 1968.
Smith G. L . , Schmidt	S. F., McGee L . E . , Application of Statistical Filter

Theory to Optimal Estimation of Position and Velocity on Board a Circum-

lunar Vehicle,

N . A . S . A . T R №

R-135,

1962.

Другие вопросы

Allison

J. S.,

On the Comparison of Two Methods of Off-Line Parameter

Identification,

/ .

Math.

Anal.

Applns.,

18, 229 (1967).

Howland

J. L . , Vaillancourt

R., A

Generalized

Curve-Fitting

Procedire,

J.

Soc.

Ind.

Appl.

Math.,

9, 165

(1961).

Lee E .

S.,

Quasilinearization

and Invariant

Imbedding: W i t h Applications

to Chemical

Engineering and Adaptive Control, Academic Press, N . Y . , 1967.

Levadi V . § . ,

Design of Input Signals for

Parameter

Estimation,

IEEE

Trans.,

A C - U , 205, 1966.

Mowery V . 0 . ,

Least Squares Recursive Differential-Correction Estimation

i n

Nonlinear

Problems,

IEEE

Trans.,

AC-10,

399

(1965).

Schneider

H . ,

Multidimensional Parameter

Estimation by the

Summed

Weighted Least Squares Minimization of Remainders, J.

Astronau.

Sei.,

11,

61

(1964).

Л . И., Крементуло Ю. В., Автоматика,

Воронова

2,

3 (1966).

Глава 10

О Ц Е Н И В А Н ИЕ ПАРАМЕТРОВ В МОДЕЛЯХ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И В ЧАСТНЫХ П Р О И З В О Д Н Ы Х

Дифференциальные уравнения с производными по двум и более независимым переменным называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие уравнения описы вают самые разнообразные процессы, например движение потока в пористой среде, распределение загрязняющих веществ в воздухе или реке, работу химических реакторов с неподвижным слоем насадки и линий передачи. Дифференциальные уравнения в част ных производных могут дать более детальное описание процесса, чем обыкновенные дифференциальные уравнения. Однако, как было показано на фиг. 1.1.2, получение как аналитического, так и численного решения для модели, представленной дифферен циальным уравнением в частных производных, является более «ложной задачей, чем получение соответствующих решений для модели, представленной обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Если при интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений появляются произвольные постоянные интегрирова ния, то общее решение дифференциального уравнения в частных производных п-го порядка содержит п произвольных функций. Следовательно, за исключением уравнений первого порядка и некоторых других частных случаев, редко имеется возможность или возникает необходимость в нахождении общего решения; вместо этого отыскивается частное решение при определенных граничных и начальных условиях.

Одним из стандартных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является разделение пере менных. Решения составляются таким образом, чтобы зависимая переменная (переменные) выражалась через произведение решений двух или большего числа обыкновенных дифференциальных урав нений, каждое из которых имеет известное решение. Затем для определения произвольных функций привлекаются начальные и граничные условия, характерные для данной задачи, что позво ляет получить однозначное решение для модели.

Вследствие того что граничные условия играют важную роль при построении и решении модели процесса, экспериментатор

Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Смотрите также: