Документ: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами, страницы 816-820

790

Глава 11

и обозначая символом Jk к последовательных операций интегри рования в интервале от 0 до t, можно получить новые постоянные метки

оо
z0k = j * 3h	[g (t, ß)) f0	(t) dt = 0	при к <	m,
mu		"(0) = t,
z<= j Jh te(.	ß ) ] / 0 ( 0	"(0) = t,	при	= m,
z<= j Jh te(.	ß ) ] / 0 ( 0	d(0)

где /о по-прежнему равняется U (t). Затем необходимо определять ZQU при к = 1, 2, 3, . . . до тех пор, пока не получится первое ненулевое значение zo ; „ которое будет использоваться в дальней шем как z0. Таким образом.

				_	m n (aj)	zy
				Zj — z0a3- -у- -		zy
					d(a.j)
и уравнение,		эквивалентное (11.3.6),				имеет	вид
				afh	(aj) = h/d (а,-).		(11.3.8)
Уравнение (11.3.8) можно					записать в матричной форме, которую
можно	использовать			для	определения	параметров передаточной
функции (11.3.7):
	т + 2	а Г	+ п	- А і а і
	і	а Г		- А і а і
a m + 1	т + 2		1 — h2az				X
							X
L a	т + 2	„ m + n		I ,
L a	а д + і ! • • • а п + < 2 — « n + d C S n + d
					X	/г2	— <
					X		(11.3.9)

Рассмотрим пример, поясняющий детали этого метода для слу чая детерминированных величин.

Пример 11.3.10. Оценивание коэффициентов передаточной

функции
Допустим, что передаточная	функция	имеет	вид
a3 s3	-(- a2 s2 - j -	«js -f-1	(а)

Проиллюстрируем применение соотношения (11.3.9) при отсут ствии ошибки, используя вместо численного интегрирования ана

Оценивание параметров передаточных функций 791

литическое интегрирование. В данном примере предположим, что экспериментальная импульсная характеристика во временной

области

представляет

собой

детерминированную

функцию

£(*) =

2 е Г * - е - ' ,

(б)

эквивалентную

g(*> ß ) =

s 2 + 3 s + 2

•

W

Таким

образом,

решая

уравнение

(11.3.9),

нужно

полу

чить следующие

результаты:

с =

1

3

=

~2,

«2 =

1

0,

6 , = 0

и т =

1.

"2",

аі

— , оз =

Первым

этапом

является

вычисление

zoh

путем

последователь

ного интегрирования импульсной характеристики во временной

области

до

появления

первого

ненулевого

значения

z0k:

оо

ft =

0:

z0 0

=

\

J°[g(t)]dt=

j

(2e-2 i — e~l)dt

= 0;

b

о

t

оо

k = i:

z 0 1 = j J M ^ ( * ) ] d < = j J ( 2 е - 2 т — е - т ) Л Л =

0

Ô

2

'

Поскольку

z0 1

=

x / 2 , то

c =

V 2 ,

a

так

как fe =

1, то и

m

= 1.

Следующим

этапом

является

выбор

четырех

значений

aj

(для

четырех

значений

hj)

и

одного

значения

у:

1

_

І

_

3

Кі — -jj- ,

а 2 — -1 j а

з

— "2~ >

а 4

=

4

'

и вычисление

значений

zy.

оо

о

оо

«i =

j

g(t)idt)dt

=

о

оо

1

= j (2е-2 * — е - ' ) ( е - ^ 2 —

e'%t)dt=- 30

792 Глава 11

Z2	= j	(2e-2 ( —e"') (e"' —e"2 ') d* =				0,
	о
	oo
Z3	= j	(2<r2< —e -<) (e-3 */2 — e~2t)dt				= 210
z 4	= j	(2e-2 ! —		•t/4.		7
z 4	= j	(2e-2 ! —		•t/4.		90
						90
Тогда уравнение		(11.3.9) принимает			вид
" 1		2	1	1		7	-
	4	15	— 15	30		~ 30
	1	1	1	1	Г b i	2
	1	3	3	3	ßt	3
		3	3	3	ßt	3	(г;
	9	18	27	81	а2	81	(г;
	9	18	27	81	а2	81
	4	35	35	70	-а3-	70
	1	2	1	1	-а3-	13
	1	2	1	1		13
. 16		45	90	320		L 180 J
Уравнение (г) имеет			следующее решение:			L 180 J

	-h-	Г ° 1
	-h-	3
	dl	3
	dl	2
	а2	1
		2

_ с 3 .	• 0 -

Заметим, что Ьх = 0 и а3 = 0, как и требовалось.

Теперь исследуем влияние ошибки процесса на применение уравнения (11.3.9) для получения оценок, если вместо детермини рованной функции g (t) должны использоваться эксперименталь ные значения импульсной характеристики G (t). Допустим, что ошибка прибавляется к детерминированному выходному сигналу во временной области:

		G (t)	= g (t, ß) +		e (t),
где e (t) — стационарный шум, амплитуда которого						распределена
по нормальному		закону	с нулевым		средним и дисперсией		а\|;
шум e (t)	некоррелирован		с g	(t, ß).
Допустим, что		fj (t) =	е~аі*.	Тогда (в данном		случае Zj	—
случайная	величина)

Zj= \ [g(t, V)f)(t) +

s(t)fj(t)]dt,

Оценивание параметров передаточных функций 793

и

математическое

ожидание

случайной величины Z 7

имеет вид

оо

%{ZJ)

= n[\[g{t,

ß ) < T a / + e ( О е - " ' ' * ] } =g(aj).

(11.3.10)

Вычислим дисперсию случайной величины Zj

Var {Zj} = ai . = % {Zj} -

[Щ { Z , } ] 2 =

oo

"

0

I)

oo

-

g%

=

g

{ ?

(«;) - L 2g (a,-) j 8 (*)e

" V

dt +

Ü

oo

+

J 8 (f) в" V

eft

j e (f) « T V dt\-g*

(aj)

-

о

0

oo

= ?

(a; ) +

2g (aj)

g { j e (*) < T a /

+

oo

+ g { j

J 8 ( ï ) e ( T ) e - ^ V ^ T d ^ T } - i 2 ( a ; - ) -

о

0

oo

=

j

j g {e (0 e (x)} е~аі*е~аіх

dt dx =

0

Ü

oo

=

j

ai£/

(* -

T ) е~аі*е-аіх

dt dx =

о

oo

2

=

a| j e - 2 e j ' ^ = ^ _ .

(11.3.11)

Если

fj

(t) =

e~aJl

— e-V,

то,

выполнив

довольно

значитель

ный объем аналогичных вычислений, можно показать,

что когда

Zy

вычисляется

независимо

от

Zj

как

то

V « ^ - l [ ^ ^ ] .

( И . З Л 2 ,

794

Глава 11

где ошибки e (t) и &у (t) могут быть различными, но они должны быть некоррелированными:

			Ш{Ъ {t) 8	(Т)} =	О,
			Щг (t) е, (т)} = О
и ai =	a\|t .	Выбор	функции f} (t)	= е -	0 ^ —	более предпочти
телен,	чем	выбор	функции

если, как первоначально требовалось, ex, <і у. С целью макси мального уменьшения дисперсии Дике предлагает учитывать условие

Дисперсию Zj можно также уменьшить путем повторного прове дения экспериментов. Уравнение (11.3.9) превращается в систему переопределенных уравнений, которую можно решить одним из методов наименьших квадратов; за оценки параметров могут быть приняты средние значения этих параметров, полученные в каждом эксперименте. Даже если дисперсия Zj может быть вычислена,


дисперсии коэффициентов				передаточной	функции g (s, ß) невоз
можно	рассчитать	непосредственно, хотя			их можно аппроксими
ровать,	линеаризуя		уравнение (11.3.9)		относительно Zj.
Пример 11.3.2. Получение оценок при наличии шума
Рассматриваемые			здесь	примеры взяты из работы Дикса [4]
и иллюстрируют		влияние		на оценки нормально		распределенного
шума с нулевым		средним,		а также выбираемых		значений A.t, aj
и т. д. Интегралы		были вычислены на цифровой				вычислительной

машине по формуле трапеций. Обращение матриц (11.3.9) для

отыскания вектора	параметров	проводилось	методом		исклю
чения.
В л и я н и е в е л и ч и н ы		и н т е р в а л а		в р е м е н и
At п р и и с п о л ь з о в а н и и		ф о р м у л ы		т р а п е ц и и .
Были имитированы	данные для	подгонки следующей			модели:
	g(s,$) = c	2 У Л	т	- -	(а)

При этом нормально распределенная случайная ошибка прибав

лялась	к функции g (t)	= 8e _ 0 ' 4 t	— 7e-°>6 t	во временной	области,
которой	соответствует	функция	g (s) =	(s + 2)/(s2 + s	+ 0,24)

в пространстве изображений. Следовательно, «истинными» значе ниями параметров были: с = 8,333, by = 0,500, a4 = 4,167 и а2 = = 4,167. В табл. П.11.3.2а показано влияние величины интервала

Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Смотрите также: