Материал: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Математический

аппарат

911

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

[6

(t)]

=

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

Xlà(t

—

т)]

=

 

 

 

10.

Преобразование

свертки

двух

функций.

Д л я

интеграла

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/і С

-

т )

/г

M

^ >

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

называемого

сверткой функций

Д

и

/ 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

[ J / i

-

т)

/ 2 (т)

с*т]

=

f\

(s) h (s).

11.

Начальное

и

конечное

значения.

 

 

Начальное значение: lims/(s)

=

l i m

f(t).

 

 

 

 

 

 

S-»oo

„

=

 

t-*0

f(t).

 

Конечное

значение: l i m sf(s)

l i m

 

 

 

 

 

 

 

S-vO

 

 

 

t-yoo

 

 

Пример Б . 8 . 1 . Преобразование

Лапласа

 

 

Найдем

изображения

по Лапласу для

следующих

 

 

 

 

 

 

[0,

t<

0,

 

 

 

 

 

 

1.

/(*).=

 

=

| у

t >

0.

 

 

 

 

 

 

2.

/

(0

=

е<".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

/

(t)

=

cos

at.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

со

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^t^(*)]= je-*l&=-|-"|"=-|(-l)=4,

о e

2.

оосо

(Б.8.12)

(Б.8.13)

функций: •

s>0.

X [eat] = J e~s V

 

dt = [ e<a -s > * dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_1

e (a-S)t

 

 

• (

- ! )

-

'

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3.

 

 

 

 

 

 

0

a — s 4

7

s—a

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ [cos at] = j e"st

 

cos atdt

= ~^ e~st

(e~iat

+ eiat)

dt

=

 

 

 

о

 

 

 

о

 

_ 1

 

 

 

 

 

 

_

1

Ге»"а-*> <

g(-tg-j) <-ioo

p

1

1

-J

s

 

~

2

L ia—s

'

— ia — s Jo ~ ~ 2

[s

— ia

s +

jaj —

s2 +

a2 *

912

Приложение

В

Пример Б . 8 . 2 . Преобразование Лапласа для производных

Найдем изображения по Лапласу от / ' (t) и / " (t). Решение

оо

о

Введя обозначения

u = e~st, dv = f'(t)dt

и интегрируя по частям, получим

оо

X [/' (t)] = e-st f (t) I» + * j e - s t / (0 dt = - / (0) + s/ (s).

 

о

Далее,

 

oo

oo

X [/" (t)] = j /" (t) <Tst dt = e"8'/' |S° + s J e"st/' (0 dt =

о

0

= s 2 / ( S ) - S / ( 0 ) - / ' (0).

Вычисление обратных преобразований Лапласа от функций представляет особую важность, однако может быть крайне затруд­ нено. При определении функции / (t) по некоторой функции / (s) обычно по таблицам преобразований Лапласа отыскивается нуж­ ное преобразование [8]. Если это удается сделать, обратное пре­ образование немедленно находится.

Д л я вычисления обратных преобразований можно также использовать:

1. Теорему разложения Хевисайда.

2.Элементарные дроби.

3.Методы полюсов и вычетов.

4.Интеграл свертки.

5.Численные расчеты

 

Использование методов

1—4 требует

громоздких

вычислений.

В

табл. Б.8.1 приведен

краткий список преобразований, часть

которых используется

в

следующих

примерах,

а другие —

в

основном тексте книги.

 

 

 

[ ) Таблицы, удобные дл я численных расчетов, приведены в работе [7] .

 

 

 

Таблица

Б.8.1

Н е к о т о р ые п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а

 

 

 

Функция / (t)

Изображение / (s)

= | e~st

f(t) dt

 

 

 

О

 

 

1

 

s

 

 

jn-1

 

 

 

 

J _

 

 

(»—1)1

 

 

 

 

sn

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

( я г ) 1 / 2 tn - l e a*

(и —1)1 gai —

a — 6

1

b — a

1 . ,

— sin at a

cos at

1 ,

— sh at a

ch at

J0 (at)

к

erfc ( 2VF )

1

в х р ( — g - )

~\/«t

f(t-b)U(t — b)

f'(t)

/»(0

*»/(*)

c7(t)

e V . 1

 

(s — a ) "

 

(s —a ) (s — b)

a=£6

 

 

1

 

 

s ( l

+

as) (1 +

bs)

 

 

1

 

 

 

S 2

+

a 2

 

 

 

1

 

 

 

s2

— a 2

 

 

 

s

 

 

 

s 2

— a 2

 

 

 

1

 

 

 

~|/s 2 +

a 2

 

 

 

s

 

 

 

 

V's

 

 

 

 

-h

Ys

 

 

(s

 

 

 

 

/(«)

 

 

e-b*~f(s)

 

« / ( * ) - / ( 0 )

s n / (s ) _

/

(0) _

<,n-2 / ' (Q) -

-...-fn-i

 

(0)

( _ 1 ) П / ( П ) ( s )

1

914 Приложение Б

Пример Б.8.3.

Решение обыкновенного

дифференциального

 

 

уравнения

 

 

Решим

уравнение у" (t)

+ к2у {t) =

0 с начальными усло­

виями у (0)

=

сх и у' (0) == с 2

с помощью преобразований Лапласа.

Решение

Сначала с помощью табл. Б.8.1 возьмем преобразование Лапласа от обеих частей данного уравнения:

X {у" (t) + к*у (t)} = 0,

s'y (s) - sy (0) - y' (0) + h»y (s) = 0.

Затем подставим начальные условия

s2y (s) — sc! — c2 + k2y (s) = 0

и решим полученное уравнение относительно у (s)

У \Ь) — S 2 + A 2 — S 2 + Ä : 2 " r S 2 4 - A ; 2 '

Наконец, выполняя обратное преобразование снова с помощью табл. Б . 8 . 1 , получаем

у (t) = et cos (kt) -f- ~ sin (kt).

К

Пример Б.8.4. Решение дифференциального уравнения

в частных производных путем его преобразования в обыкновенное дифференциальное уравнение

Решим уравнение диффузии в полубесконечной среде

dt дх*

при следующих граничных условиях:

(1) с = 0, t = 0, x > 0;

(2)

3>[^\

= к = const, t > 0, x = 0;

4 '

V дх I

ж=0

(3) с = 0, f > 0, ж - > оо.

Решение

От обеих частей уравнения возьмем преобразование Лапласа по переменной / (при этом предполагается, что возможно измене­ ние порядка дифференцирования по ж и выполнение преобразова-

Математический

аппарат

915

ния Лапласа)

 

 

sc(x,s)-c(x,0)

= a)^^.

(а)

Уравнение (а) представляет собой обыкновенное дифференциаль­ ное уравнение, которое имеет следующее решение [с учетом с (х, 0) = 0]:

 

с (x, s) =

Х - f Аге~^^Х.

(б)

Заметим, что преобразованные граничные условия

имеют вид

<*>

« [ * № Ы - * ( ^ ) « - * ( * ) - т -

(3')

X [с (ж, 01 = с (x, s) = 0.

 

Из условия (3') следует,

что Л 4 = 0;

тогда

 

 

с {x, s) = А2 е г

^ .

(в)

Далее

 

 

 

 

 

 

 

 

0 s

так что

 

 

 

 

 

А*

 

 

 

Наконец,

 

 

 

 

 

c ( x , s ) = - w ( — )

е Я .

( д )

Обратное

преобразование

Лапласа от выражения

(д) равно

= -

[ 2

)1 / 2Ѳ Х Р ( - а*) - we r f c (iw*) I •(e

Заменяя

граничное

условие (2) на

 

с

= с0 , * > 0 » ж = 0,

можно получить

X[c(x,t)] = è(x,s) = XlcQ] = ^ L , х = 0,

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125861

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution
07