Курсовая работа (т): Изучение свойств физического маятника

Изучение свойств физического маятника

Содержание

Вступление

Раздел 1. Колебания

.1 Периодические колебания

Раздел 2. Физический маятник

.1 Основные формулы

.2 Кинематика колебаний маятника

.3 Динамика колебаний маятника

Раздел 3. Свойства физического маятника

.1 Использование маятника в часах

.2 Маятник Фуко

.3 Фрикционный маятник Фроуда

.4 Зависимость между периодом и длиной маятника

Выводы

Вступление

Изучая явление, мы одновременно знакомимся со свойствами объекта и учимся их применять в технике и в быту. В качестве примера обратимся к колеблющемуся нитяному маятнику. Любое явление «обычно» подсматривается в природе, но может быть предсказано теоретически, либо случайно обнаружено при изучении другого. Еще Галилей обратил внимание на колебания люстры в соборе и «было в этом маятнике что-то, что заставило его остановиться». Однако наблюдения обладают крупным недостатком, они пассивны. Для того чтобы перестать зависеть от природы, необходимо построить экспериментальную установку. Теперь мы можем воспроизводить явление в любое время. Но какова цель наших опытов с тем же нитяным маятником? Человек многое взял от «братьев наших меньших» и поэтому можно представить, какие опыты провела бы с нитяным маятником обыкновенная обезьяна. Она бы попробовала его «на вкус», понюхала, дернула за ниточку и потеряла к нему всякий интерес. Природа научила ее очень быстро изучать свойства объектов. Съедобно, несъедобно, вкусно, невкусно - вот краткий перечень свойств, которые изучила обезьяна. Однако человек пошел дальше. Он обнаружил такое важное свойство, как периодичность, которое можно измерить. Любое измеримое свойство объекта называют физической величиной. Ни один механик мира не знает всех законов механики! А нельзя ли путем теоретического анализа или тех же экспериментов выделить главные законы. Те, кому удалось это сделать, навсегда вписали свое имя в историю науки.

В своей работе мне бы хотелось изучить свойства физических маятников, определить в какой степени уже изученные свойства можно применить в практике, в жизни людей, в науке, а может применять их в качестве метода изучения физических явлений других областей этой науки.

Раздел 1. Колебания

Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике. Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, уровень реки в течение года и температура человеческого тела при болезни.

С колебательными системами приходится иметь дело не только в различных машинах и механизмах, термин "маятник" широко используют в приложении к системам различной природы. Так, электрическим маятником называют цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности, химическим - смесь химикатов, вступающих в колебательную реакцию, экологическим маятником - две взаимодействующие популяции хищников и жертв. Этот же термин применяется к экономическим системам, в которых имеют место колебательные процессы. Мы также знаем, что колебательными системами является большинство источников звука, что распространение звука в воздухе возможно лишь потому, что сам воздух представляет собой своего рода колебательную систему. Более того, кроме механических колебательных систем, существуют электромагнитные колебательные системы, в которых могут совершаться электрические колебания, составляющие основу всей радиотехники. Наконец, имеется очень много смешанных - электромеханических - колебательных систем, используемых в самых различных технических областях.

Мы видим, что звук - это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны - периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет - тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой. Землетрясения - колебания почвы, приливы и отливы - изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса - периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д. Смена бодрствования и сна, труда и отдыха, зимы и лета. Даже наше каждодневное хождение на работу и возвращение домой попадает под определение колебаний, которые трактуются как процессы, точно или приближенно повторяющиеся через равные промежутки времени.

Итак, колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Специальный раздел физики - теория колебаний - занимается изучением закономерностей этих явлений. Знать их необходимо судостроителям и самолетостроителям, специалистам промышленности и транспорта, создателям радиотехнической и акустической аппаратуры.

Любые колебания характеризуются амплитудой - наибольшим отклонением некоторой величины от своего нулевого значения, периодом (T) или частотой (v). Последние две величины связаны между собой обратно пропорциональной зависимостью: T=1/v. Частота колебаний выражается в герцах (Гц). Единица измерения названа так в честь известного немецкого физика Генриха Герца (1857...1894). 1Гц - это одно колебание в секунду. Примерно с такой частотой бьется человеческое сердце. Слово «херц» по-немецки означает «сердце». При желании в этом совпадении можно усмотреть некую символическую связь.

Первыми учеными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). Галилей установил изохронизм (независимость периода от амплитуды) малых колебаний, наблюдая за раскачиванием люстры в соборе и отмеряя время по ударам пульса на руке. Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника. Большой вклад в изучение колебаний внесли многие ученые: английские - У.Томсон (лорд Кельвин) и Дж.Рэлей <#"804327.files/image001.jpg">

Рис. 2.1.

Запишем уравнение моментов относительно оси вращения OZ (ось OZ проходит через точку подвеса О перпендикулярно плоскости рисунка "от нас"), пренебрегая моментом сил трения, если известен момент инерции тела

 (1)

Здесь  - момент инерции маятника относительно оси OZ,

 - угловая скорость вращения маятника,

M_z=- - момент силы тяжести  относительно оси OZ,

a - расстояние от центра тяжести тела С до оси вращения.

Если считать, что при вращении, например, против часовой стрелки угол увеличивается, то момент силы тяжести вызывает уменьшение этого угла и, следовательно, при момент M_z<0. Это и отражает знак минус в правой части (1)

Учитывая, что  и, принимая во внимание малость колебаний, перепишем уравнение (1) в виде:

 (2)

(мы учли, что при малых колебаниях , где угол выражен в радианах). Уравнение (2) описывает гармонические колебания с циклической частотой  и периодом

 (3)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Вся масса математического маятника практически сосредоточена в одной точке - центре инерции маятника С. Примером математического маятника может служить маленький массивный шарик, подвешенный на длинной легкой нерастяжимой нити. В случае математического маятника а=l,  где l - длина нити, и формула (3) переходит в известную формулу

 (4)

Сравнивая формулы (3) и (4), заключаем, что период колебаний физического маятника равен периоду колебаний математического маятника с длиной l, называемой приведенной длиной физического маятника:

 (5)

Период колебаний физического маятника <#"804327.files/image018.gif">) немонотонно зависит от расстояния . Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс: Тогда период колебаний будет равен:

 (6)

Изменение периода колебаний при удалении оси вращения от центра масс O в обе стороны на расстояние а показано на рис. 2.2.

Рис.2.2.

.2 Кинематика колебаний маятника

Маятником является всякое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находится ниже точки подвеса. Молоток, висящий на гвозде, весы, груз на веревке - все это колебательные системы, подобные маятнику стенных часов (рис. 2.3).

Рис. 2.3

У всякой системы, способной совершать свободные колебания, имеется устойчивое положение равновесия. У маятника - это то положение, при котором центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса. Если мы выведем маятник из этого положения или толкнем его, то он начнет колебаться, отклоняясь то в одну, то в другую сторону от положения равновесия. Наибольшее отклонение от положения равновесия, до которого доходит маятник, называется амплитудой колебаний. Амплитуда определяется тем первоначальным отклонением или толчком, которым маятник был приведен в движение. Это свойство - зависимость амплитуды от условий в начале движения - характерно не только для свободных колебаний маятника, но и вообще для свободных колебаний очень многих колебательных систем.

Если прикрепить к маятнику волосок - кусочек тонкой проволочки или упругой нейлоновой нити - и будем двигать под этим волоском закопченную стеклянную пластинку, как показано на рис. 2.3. Если двигать пластинку с постоянной скоростью в направлении, перпендикулярном к плоскости колебаний, то волосок прочертит на пластинке волнистую линию (рис. 2.4). Мы имеем в этом опыте простейший осциллограф - так называются приборы для записи колебаний. Кривые, которые записывает осциллограф, называются осциллограммами. Таким образом, рис. 2.2.3. представляет собой осциллограмму колебаний маятника. Амплитуда колебаний изображается на этой осциллограмме отрезком АВ, дающим наибольшее отклонение волнистой кривой от прямой линии ab, которую волосок прочертил бы на пластинке при неподвижном маятнике (покоящемся в положении равновесия). Период изображается отрезком CD, равным расстоянию, на которое передвигается пластинка за период маятника.

Рис. 2.4

Запись колебаний маятника на закопченной пластинке

Рис. 2.5

Осциллограмма колебаний маятника: АВ - амплитуда, CD - период

Так как мы двигаем закопченную пластинку равномерно, то всякое ее перемещение пропорционально времени, в течение которого оно совершалось. Мы можем сказать поэтому, что вдоль прямой аb в определенном масштабе (зависящем от скорости движения пластинки) отложено время. С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к аb, волосок отмечает на пластинке расстояния конца маятника от его положения равновесия, т.е. путь, пройденный концом маятника от этого положения. Таким образом, осциллограмма есть не что иное, как график движения - график зависимости пути от времени.

Как мы знаем, наклон линии на таком графике изображает скорость движения. Через положение равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью. Соответственно этому и наклон волнистой линии на рис. 2.2.3. наибольший в тех точках, где она пересекает прямую ab. Наоборот, в моменты наибольших отклонений скорость маятника равна нулю. Соответственно этому и волнистая линия на рис. 4 в тех точках, где она наиболее удалена от ab, имеет касательную, параллельную ab, т. е. наклон, равный нулю.

.3 Динамика колебаний маятника

Маятники, изображенные на рис. 2.6 представляют собой протяженные тела различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. Такие системы называются физическими маятниками. В состоянии равновесия, когда центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса (или опоры), сила тяжести уравновешивается (через упругие силы деформированного маятника) реакцией опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и упругие силы определяют в каждый момент времени угловое ускорение маятника, т.е. определяют характер его движения (колебания). Рассмотрим теперь динамику колебаний подробнее на простейшем примере так называемого математического маятника, который представляет собой грузик малого размера, подвешенный на длинной тонкой нити.

В математическом маятнике мы можем пренебречь массой нити и деформацией грузика, т.е. можем считать, что масса маятника сосредоточена в грузике, а упругие силы сосредоточены в нити, которую считают нерастяжимой. Посмотрим теперь, под действием каких сил происходит колебание нашего маятника после того, как он каким-либо способом (толчком, отклонением) выведен из положения равновесия. Возвращающая сила Р1 при отклонении маятника от положения равновесия.

Рисунок 2.6

Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения нити. В отклоненном положении (рис. 2.6) сила тяжести Р действует под углом к силе натяжения F, направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие: по направлению нити (Р2) и перпендикулярно к нему (P1). При колебаниях маятника сила натяжения нити F несколько превышает составляющую P2 - на величину центростремительной силы, которая заставляет груз двигаться по дуге. Составляющая же Р1 всегда направлена в сторону положения равновесия; она как бы стремится восстановить это положение. Поэтому ее часто называют возвращающей силой. По модулю Р1 тем больше, чем больше отклонен маятник.

Итак, как только маятник при своих колебаниях начинает отклоняться от положения равновесия, скажем, вправо, появляется сила Р1 замедляющая его движение тем сильнее, чем дальше он отклонен. В конечном счете эта сила его остановит и повлечет обратно к положению равновесия. Однако по мере приближения к этому положению сила P1 будет становиться все меньше и в самом положении равновесия обратится в нуль. Таким образом, через положение равновесия маятник проходит по инерции. Как только он начнет отклоняться влево, опять появится растущая с увеличением отклонения сила Р1, но теперь уже направленная вправо. Движение влево опять будет замедляться, затем маятник на мгновение остановится, после чего начнется ускоренное движение вправо и т. д.

Что происходит с энергией маятника при его колебаниях?

Два раза в течение периода - при наибольших отклонениях влево и вправо - маятник останавливается, т.е. в эти моменты скорость равна нулю, а значит, равна нулю и кинетическая энергия. Зато именно в эти моменты центр тяжести маятника поднят на наибольшую высоту и, следовательно, потенциальная энергия наибольшая. Наоборот, в моменты прохождения через положение равновесия потенциальная энергия наименьшая, а скорость и кинетическая энергия достигают наибольшего значения.