Материал: Климентов П.П. Динамика подземных вод учеб. для геологоразведоч. техникумов

Соответствующее этим условиям уравнение неразрывности для пространственного потока определяется выражением (11,76):

дѵх 1 дѵ7 ^_дѵ2

0. (П,76)

дх ду dz

Подставляя выражения для компонентов скорости фильтрации из (11,74) в уравнение неразрывности потока (11,76), получим:

д L дН \ д ( , дН \ д ( дН \ д у ' ду

Уравнение (11,77) представляет собой дифференциальное урав­ нение фильтрации напорных подземных вод в анизотропном пла­

стой среде и носит название уравнения Лапласа, широко известного

неустановившейся фильтрации грунтовых вод, на основе рассмот­ рения водного баланса элемента потока. Для простоты примем одномерный грунтовый поток в однородной фильтрационной среде (k = const). В соответствии с этим поток имеет только одну состав­

зонтальные составляющие скорости фильтрации постоянны по глу­ бине потока (предпосылка Дюпюи). Питание грунтового потока осуществляется за счет инфильтрации атмосферных осадков. Во­ доупорное ложе принимается совершенно непроницаемым и имею­ щим уклон і ( і ф 0). Фильтрация воды подчиняется закону Дарси, движение неустановившееся во времени.

Для вывода уравнения рассмотрим баланс бесконечно малого элемента потока, ограниченного двумя поперечными сечениями 1 и 2 и имеющего длину dx, ширину В = \ м и высоту h, равную мощ­ ности потока. Пьезометрический напор в пределах элемента пото­

элемент слева), и притока воды сверху за счет инфильтрации ат­ мосферных осадков, равного W-dt-dx (здесь W — интенсивность инфильтрации, или количество воды, просачивающейся сверху на единицу площади распространения грунтовых вод, в единицу вре­ мени). В общем случае интенсивность инфильтрации может быть переменной во времени и по площади.

w

Рис. 19. Элемент грунтового потока в условиях неустановившейся фильтрации

За тот же промежуток времени dt отток воды из выделенного элемента через грань 2 будет равен q2dt (здесь q2— интенсивность оттока воды из элемента). При неустановившейся фильтрации грунтовых вод в элементе потока происходит изменение объема во­ ды за счет разности между притоком и оттоком воды за время dt. Это изменение dV можно определить, используя следующее выра­ жение:

dV = (qidt + W d x d t)— q2dt = (qi -{-Wdx — q2)dt. (11,79)

Изменение объема воды в элементе потока находит выражение в изменении уровня грунтовых вод (либо повышение, либо пониже­ ние уровня в зависимости от соотношения притока и оттока воды). Величина изменения уровня воды в элементе потока dH, произошел-

нение уровня dH в элементе потока, может быть выражен через ве­ личину dH и объем порового пространства той части элемента по-

тока, в пределах которой произошло изменение уровня. Тогда

таток насыщения), характеризующая способность единицы объема пористых горных пород отдавать или принимать воду при их осу-

дН

шении (или н а с ы щ е н и и ) dt-dx-1 — объем части выделенного

В уравнении (11,81) величина притока воды q\ может быть опре­ делена, как единичный расход грунтового потока, т. е. потока ши­

Величина q2 может быть выражена через расход q\, поступаю­ щий в элемент потока через грань 1 плюс приращение единичного расхода dq1, происходящее за время dt на пути dx (в пределах вы­ деленного элемента), т. е.:

Раскрыв скобки и произведя сокращения (11,85), найдем:

(П,86)

Полученное уравнение является основным дифференциальным уравнением, описывающим одномерную неустановившуюся фильт­ рацию грунтового потока в однородной пористой среде при нали­ чии инфильтрационного питания, и называется уравнением Буссинеска.

Аналогичным образом может быть получено уравнение Буссинеска для двухмерного планово-плоского потока грунтовых вод при неустановившейся их фильтрации в однородной среде. При нали­ чии глубинного питания грунтового потока за счет поступления во­ ды из нижележащего напорного водоносного горизонта №ГЛ) оно также учитывается в дифференциальном уравнении: ■

*^('1^г)+^ (',5г) +"7+Гг" =|г5Г- ("'87)

Если фильтрационная среда неоднородна, то в дифференциаль­ ном уравнении, описывающем неустановившуюся фильтрацию грун­ тового потока, величина коэффициента фильтрации k будет нахо­ диться под знаком дифференциала. Тогда с учетом того, что kh = T представляет собой водопроводимость пласта, дифференциальное уравнение (11,87) примет соответственно вид:

Аналогичным образом видоизменяется и уравнение для одномерной фильтрации (11,86):

-( r^) + r + r „ = Æ (11,89)

дх '

При отсутствии инфильтрационного и глубинного питания грун­ товых вод, т. е. когда поток грунтовых вод изолирован в разрезе, в дифференциальных уравнениях принимается W —0 и Ц7ГЛ = 0. На­ пример, для одномерной неустановившейся фильтрации потока грунтовых вод при отсутствии инфильтрационного и глубинного пи­ тания получим:

При горизонтальном залегании водоупорного ложа (і = 0) зна­ чения напоров можно отсчитывать от водоупора, т. е. принимать их равными мощности потока H = h, что находит отражение и в диффе­ ренциальных уравнениях. Так, например, для одномерной неуста­ новившейся фильтрации потока грунтовых вод при горизонтальном

водоупоре уравнение Буссинеска примет вид:

При установившейся фильтрации потока грунтовых вод уровень его в каждом данном сечении остается неизменным во времени, в соответствии с чем дифференциальные уравнения неустановившей­ ся фильтрации будут справедливы для установившейся фильтрации,

дН

если в них принять р = 0. Так, например, для плановой уста»

новившейся фильтрации грунтовых вод основное дифференциаль­ ное уравнение получается из уравнения (11,88) при равенстве пра­ вой части нулю:

ние (11,92) после вынесения Т за знак дифференциала приобретает вид:

д2Н д2Н W

(11,93)

дх2 ду2 Г

При отсутствии инфильтрационного питания уравнение (11,93) переходит в обычное уравнение Лапласа для двухмерного плоского потока:

д2Н дЧІ

(11,94)

дх1 дуг

Для случая неустановившейся фильтрации потока напорных вод в условиях упруговодонапорного режима основное дифференциаль­ ное уравнение может быть получено любым из отмеченных выше методов. При пространственном характере потока оно имеет сле­ дующий вид:

рость перераспределения напоров при упругом режиме фильтрации напорного потока. Значение коэффициента пьезопроводности опре­ деляется по формуле:

где р* — упругая водоотдача или по аналогии с безнапорными во­ дами— коэффициент водоотдачи напорного пласта в условиях уп­ ругого режима; величина безразмерная;

ß*— коэффициент упругоемкости пласта, учитывающий одно­ временно упругие свойства подземных вод и вмещающих их горных