Материал: Курсовая ИПК
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Московский технический университет связи и информатики
Кафедра
информатики
Вычислительная математика –
Методические указания к курсовой работе
для студентов заочного факультета
Практическое решение инженерных и научных задач на ПК с использованием математических пакетов
Москва 2016
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 3 |
Практическое решение инженерных и научных задач на ПК с использованием математических пакетов
1. Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является:
получение практических навыков решения задач, требующих применения численных методов и методов оптимизации;
изучение возможностей математических пакетов и развития навыков их практического использования для получения числовых и символьных решений вычислительных задач, а также графических иллюстраций полученных результатов;
изучение и использование средств персонального компьютера для оформления отчета по курсовой работе.
2. Общие требования к отчету
Отчет по курсовой работе (пояснительная записка) оформляется на стандартных листах формата А4. Для ввода текста должны быть использованы следующие настройки: шрифт - Times New Roman, размер шрифта для ввода основного текста – 12, для заголовков глав и пунктов следует использовать элемент панели форматирования Стиль, позволяющего произвести выбор соответствующего уровня вложения заголовка. Страницы текста пояснительной записки должны быть пронумерованы (на титульном листе номер не указывается).
Пояснительная записка к курсовой работе должна быть написана таким образом, чтобы любой человек, в том числе не особенно владеющий материалом, мог понять, что требуется сделать и как.
Обязательные пункты отчета:
Общее и индивидуальное задание (с указанием номера варианта);
Краткие теоретические сведения по решению каждого пункта задания (применяемым численным методам). Например, при решении нелинейного уравнения (НЛУ) следует пояснить, что такое НЛУ, и что является решением НЛУ, перечислить и описать этапы решения НЛУ и показать их применение для решения конкретной задачи курсовой работы.
Результаты решения задания и выводы по работе.
Под «ручным расчетом» понимается расчет, проводимый по формулам соответствующего метода с использованием математического пакета Mathcad в качестве многофункционального калькулятора. «Расчет средствами MathCad» - это расчет, в котором используются необходимые встроенные функции пакета Mathcad.
Все расчеты и графики, используемые для иллюстраций текста, выполненные с использованием средств пакета Mathcad, помещаются в текст отчета через буфер памяти.
Титульный лист оформляется по принятому стандарту, при этом он должен содержать номер варианта, сведения о студенте, выполнившим данную курсовую работу (группа, фамилия и инициалы), а также фамилию преподавателя.
Перед выполнением работы рекомендуется изучить теоретический материал [1], [2] и разобрать приведенный ниже пример выполнения задания.
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 4 |
3.Общее задание
1.Выбрать вариант задания из таблицы 1 в соответствии с номером в журнале группы.
2.Найти два корня уравнения (x1 и x2) заданной функции на заданном интервале [a;b] указанными методами (столбцы t и m втаблице 1). Для этого необходимо:
отделить корни уравнения;
проверить (аналитически) условия сходимости применяемых методов решения уравнений (в случае необходимости привести уравнение к виду, обеспечивающему сходимость процесса приближения к корню);
выбрать начальные приближения;
записать рекуррентную формулу для уточнения корня и произвести по ним
«ручной расчет» 3-х итераций;
оценить погрешности, по формулам оценки погрешности соответствующего метода;
вычислить значениякорней «расчетом средствами MathCad».
3.Вычислить значение определенного интеграла, для чего:
произвести «ручной расчет» b f (x) x с шагом h0 и h0 /2 (где a, b – заданный
a
интервал) методами средних прямоугольников, трапеций и Симпсона, в двух вариантах для каждого метода: 1) без использования пакета MathCad (или используя пакет только как калькулятор, и 2) используя пакет MathCad для записи формул соответствующих методов (вычисления сумм ( ∑ ) значений функции и т.п.) ;
оценить погрешность интегрированияпо правилу Рунге;
|
b |
x2 |
|
вычислить значения f (x) x |
и f (x) x (где x1 и x2 – корни уравнения f(x)=0) с |
a x1
использованием «расчета средствами MathCad».
4.Определить точку экстремума функции f (x) двумя методами одномерной оптимизации (дихотомии и золотого сечения), для чего:
проверить условие унимодальности функции и выбрать начальный отрезок оптимизации;
провести «ручной расчет» 3-х итераций по сокращению отрезка оптимизации и проверить условиеокончания поиска минимума (максимума) функции;
определить точку экстремума функции f (x) «расчетом средствами MathCad».
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 5 |
4. Варианты индивидуальных заданий
Таблица 1
№ |
|
|
|
f(x) |
a |
b |
t |
m |
h0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8e-x sin(-2x) |
1 |
4 |
1 |
3 |
0.75 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e-x sin(2x+ 1) |
2 |
5 |
2 |
1 |
1.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x3/2 – 2x sin(x) -10 |
3 |
8 |
3 |
2 |
1.25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
e-x cos(-2x) |
|
|
|
2 |
4 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
-cos(2x) -2sin(x) |
3 |
6 |
2 |
1 |
0.75 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
8 sin(2x) –x |
3 |
5 |
3 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 cos(-2x) e-x |
-1 |
1 |
2 |
3 |
0.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
x sin(x+1) –cos(x– 5) |
0 |
3 |
1 |
2 |
1.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
x2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
0.5 |
|||
8(x 1)e |
2 0,5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
-sin(2x) – ln x |
1.5 |
3 |
1 |
3 |
0.75 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
sin(ex) –e-x |
|
|
|
0 |
1.2 |
2 |
1 |
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
5 x sin(x+ 1) +2cos(x) |
5 |
9 |
1 |
2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
15 -5 e-x -4 x - x3/3 |
-2 |
3 |
1 |
2 |
1.25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
-2 sin(4x)ln(-x) |
-4 |
-3 |
1 |
3 |
0.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
sin(x– 1)– xcos(x+ 3) |
-5 |
-1 |
3 |
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
- 0,5 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1.5 |
4 sin (x) – |
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
17 |
5 sin3(x) +cos3(x) -2 |
0.5 |
2.5 |
2 |
1 |
0.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
18 |
cos(2x +1) ln(2 / x) |
3 |
5.2 |
3 |
2 |
0.55 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
19 |
3 cos(x2)/ ln(x +5) |
2 |
3 |
1 |
3 |
0.25 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
20 |
sin(x2)+ 1/ (2 – x) |
-3.2 |
-2.2 |
2 |
1 |
0.5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
21 |
x sin(x) +cos(x) |
5.5 |
10 |
1 |
2 |
1.125 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
22 |
cos(x)+cos(2x) |
5 |
8 |
3 |
1 |
0.75 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 6 |
|
23 |
sin(4x)/ ln(x) |
|
|
|
|
3 |
4 |
1 |
3 |
0.5 |
|
24 |
3 - 1 x2 - e-x |
|
|
|
|
-1 |
3 |
2 |
1 |
1 |
|
25 |
sin(x+ 1) e-x– 0,5 |
|
|
|
-1 |
1 |
3 |
2 |
0.5 |
|
|
26 |
2 (1 +x) e-x –2cos(x) –0,5 |
|
1 |
5 |
2 |
3 |
1 |
|||
|
27 |
8 sin(–x3) e-x |
|
|
|
|
1.2 |
2 |
1 |
3 |
0.2 |
|
28 |
– 10 sin(x3)cos(– x) |
|
|
1.8 |
2.2 |
2 |
1 |
0.1 |
||
|
29 |
x2 cos(x +3) –4 |
|
|
|
2 |
5 |
3 |
1 |
0.75 |
|
|
30 |
– cos(x –5) e2x / 3 |
|
|
|
0 |
4 |
1 |
3 |
1 |
|
|
В таблице 1 [a; b] - отрезок с двумя корнями, |
t – номер метода для вычисления |
|||||||||
первого корня, m - номер метода для вычисления второго корня, h0 – начальный шаг |
|||||||||||
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Номера методов: |
1–половинное деление; 2–итерации; 3– Ньютона; 4– хорд |
|||||||||
|
|
5. Пример выполнения задания |
|||||||||
|
Пусть функция f(x) =x + 3 +cos(x) - x2 задана на отрезке [-2; 3]. |
||||||||||
1. Нахождение двух корней уравнения f(x)=0 |
|
|
|||||||||
|
Отделим корни уравнения: |
x + 3 + cos(x) - x2 = 0 |
|
||||||||
|
Построим график заданной функции |
|
|
|
|
||||||
|
|
f(x) x 3 cos(x) |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1.75 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отделим корни уравнения аналитически для двух предполагаемых интервалов: |
||||||||||
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 7 |