Материал: Курсовая ИПК
f(x) x 3 cos(x) x2
f1(x) ddxf(x) 1 sin(x) 2 x
f2(x) d22f(x) cos(x) 2 dx
|
x 2 1.91 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
f(x) |
|
|
f1(x) |
|
f2(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
-3.416 |
|
|
5.909 |
|
-1.584 |
|
||
|
-1.9 |
|
|
-2.833 |
|
|
5.746 |
|
-1.677 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.8 |
|
|
-2.267 |
|
|
5.574 |
|
-1.773 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.7 |
|
|
-1.719 |
|
|
5.392 |
|
-1.871 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.6 |
|
|
-1.189 |
|
|
5.2 |
|
-1.971 |
|
||
|
-1.5 |
|
|
-0.679 |
|
|
4.997 |
|
-2.071 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.4 |
|
|
-0.19 |
|
|
4.785 |
|
-2.17 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.3 |
|
|
0.277 |
|
|
4.564 |
|
-2.267 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.2 |
|
|
0.722 |
|
|
4.332 |
|
-2.362 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1.1 |
|
|
1.144 |
|
|
4.091 |
|
-2.454 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
1.54 |
|
|
3.841 |
|
-2.54 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2.13 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
f(x) |
|
f1(x) |
|
f2(x) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
0.584 |
|
|
-3.909 |
|
-1.584 |
|
||
|
2.1 |
|
|
0.185 |
|
|
-4.063 |
|
-1.495 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.2 |
|
|
-0.229 |
|
|
-4.208 |
|
-1.411 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.3 |
|
|
-0.656 |
|
|
-4.346 |
|
-1.334 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.4 |
|
|
-1.097 |
|
|
-4.475 |
|
-1.263 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.5 |
|
|
-1.551 |
|
|
-4.598 |
|
-1.199 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.6 |
|
|
-2.017 |
|
|
-4.716 |
|
-1.143 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.7 |
|
|
-2.494 |
|
|
-4.827 |
|
-1.096 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.8 |
|
|
-2.982 |
|
|
-4.935 |
|
-1.058 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2.9 |
|
|
-3.481 |
|
|
-5.039 |
|
-1.029 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
-3.99 |
|
|
-5.141 |
|
-1.01 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На отрезках [-2; -1] и [2; 3] функция f(x) меняет знаки, т.е. существует, по крайней мере, по одному корню. Поскольку знак первой (и второй) производной на выбранных отрезках остается постоянным, то можно сказать, что функция на этих отрезках монотонна. Следовательно, выбранные отрезки содержат по одному корню.
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 8 |
Уточнение корней уравнения f(x)=0
Примеры уточнения корня уравнения методом половинного деления, методом Ньютона, методом хорд и методом итераций приведены в описании лабораторной работы №1 «Методы решения нелинейных уравнений»
Вычисление значения корней уравнения «расчетом средствами MathCad» с
использованием функции root:
x1 |
root(f(x) x 2 1) 1.36 |
f(x1) 0 |
x2 |
root(f(x) x 2 3) 2.145 |
f(x2) 0 |
|
|
|
Таким образом, первый корень x1 = -1.36, второй корень x2 = 2.145.
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 9 |
2. Вычисление определенного интеграла
В качестве примера рассмотрим вычисление интеграла 3 lnxdxс шагом h0=1 и |
h0 |
0.5 |
1 |
2 |
|
методами средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.
Пример выполнения задания с использованием технологии «ручного расчета» без математического пакета (или используя MathCad только как калькулятор)
«Ручной расчет» интеграла с шагом h0 =1 и h0 /2 (Ih0 и Ih0/2 ) и оценка его погрешности по правилу Рунге, при использовании MathCad только как калькулятора
Правило Рунге применяют для вычисления погрешности путём двойного просчёта
интеграла с |
шагами h/2 и h, |
при этом |
погрешность вычисляется |
|
по |
формуле |
|||
R Ih/2 Ih . Полагают, что интеграл вычислен с точностью Е, если |
|
R |
|
E; тогда |
|||||
|
|
||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I Ih/2 R, где I – уточненное значение интеграла, p– порядок метода. |
|
|
|
|
|
||||
Вычислим интеграл 3 lnxdx с шагом h0=1 и |
h0 0.5 по формуле |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
средних |
прямоугольников |
и оценим |
погрешность интегрирования |
методом |
|||||
двойного просчёта: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(x) ln(x) h 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 1.25 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
1 0
1.250.223144
1.50.405465
1.750.559616
2 0.693147
2.250.81093
2.50.916291
2.751.011601
3 1.098612
|
I1 |
h (f(1.5) f(2.5)) 1.321756 |
|
|
|
||||
|
I2 |
|
h |
(f(1.25) f(1.75) |
f(2.25) |
f(2.75)) |
1.302645 |
||
|
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I2 I1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
R |
3 |
6.3702 |
10 |
|
|
|
||
|
Isr I2 R |
1.296275 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 10 |
трапеций и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:
f(x) ln(x) h |
1 |
|
x 1 1.5 3 |
|
|
x |
f(x) |
|
1 0
1.50.405465
2 0.693147
2.50.916291
3 1.098612
I1 |
h |
(f(1) |
f(3) |
2 f(2)) |
1.242453 |
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
h |
[f(1) f(3) |
2 (f(1.5) |
f(2) f(2.5))] |
1.282105 |
||
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R I2 |
I1 |
0.01322 |
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Itrap |
I2 R 1.295322 |
|
|
||||
Симпсона и оценим погрешность интегрирования методом двойного просчета:
f(x) ln(x) h |
1 |
|
x 1 1.5 3 |
|
|
x |
f(x) |
|
1 0
1.50.405465
2 0.693147
2.50.916291
|
|
3 |
|
|
1.098612 |
|
|
|
||
|
I1 |
|
h |
(f(1) |
f(3) |
4 f(2)) |
1.2904 |
|
||
|
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I2 |
|
h |
[f(1) |
f(3) |
4 (f(1.5) |
f(2.5)) 2 f(2)] |
1.295322 |
||
|
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I2 I1 |
|
|
4 |
|
|
||
|
R |
|
|
15 |
|
3.28089 10 |
|
|
||
|
Isimp I2 |
R 1.29565 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 11 |
Пример выполнения задания для «ручного расчета» с использованием MathCad
«Ручной расчет» интеграла с использованием MathCad с шагом h0 и h0 /2 и оценка его погрешности по правилу Рунге
поформулесреднихпрямоугольников:
f(x) lnx( ) |
|
a 1 |
b 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
h 1 |
n |
(b a) |
i 0 n 1 |
xi |
a h |
i h |
yi f xi |
Ip1 h yi |
Ip1 1.3218 |
||||||
|
|
h |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
i |
|
|||
h h |
|
(b a) |
|
|
a h |
|
|
|
|||||||
n |
i 0 n 1 |
xi |
i h |
yi f xi |
Ip2 h yi |
Ip2 1.3026 |
|||||||||
|
|
h |
|
||||||||||||
2 |
Ip1 Ip2 |
|
|
|
2 |
|
|
i |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R |
|
|
|
|
|
R 6.3702 10 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
поформулетрапеций:
f(x) ln(x) h 1 a 1 b 3
n
I1
b a |
2 |
i 0 n |
x a i h |
y |
i |
f x |
|||
|
|
||||||||
|
|
h |
|
|
i |
|
i |
||
|
h |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi |
yi 1 |
1.242453 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i 0 |
|
|
|
|
|
|
|
h |
h |
0.5 |
n |
b |
a |
4 |
i 0 n |
x a i h |
y |
i |
f x |
2 |
|
h |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
I2
R
n 1
i 0h
I2 I1
3
yi yi 1 1.282105
0.01322
14-МУ-Раздел-7-КР-Заоч-ЧМ |
Страница 12 |