Материал: lect2-3_m1_vm1_vt_aig_230100.62_niy06
а) , , компланарны.
Приведем и
к тому же началу (рис.2.6). Так как
,
то
,
следовательно,
.
б) , , не компланарны.
Приведем , и к одному началу и рассмотрим параллелепипед, натянутый на , и (рис.2.7).
Обозначим через
высоту получившегося параллелепипеда.
Имеем
Следовательно,
и теорема 6 доказана.
Следствие 1. Справедливо равенство
.
(2.11)
В самом деле, если , и компланарны, то по теореме 6 все три числа равны нулю.
Если же векторы
,
и
не компланарны, то поскольку тройки
,
и
– одной ориентации, либо все числа в
равенстве (2.11) равны объему
одного и того же параллелепипеда (если
тройки правые), либо равны
(если тройки левые).
Замечание. В силу равенства (2.11) принято опускать скобки в записи смешанного произведения:
.
Следствие 2. Векторы
,
и
компланарны в том и только том случае,
когда
.
Доказательство. Необходимость. Пусть , и компланарны, тогда (по теореме 6) .
Достаточность.
Пусть
.
Вернемся к определению 7:
.
Случай 1.
и
коллинеарны
и
линейно зависимы
система
векторов
,
,
линейно зависима
,
,
компланарны.
Случай 2. Пусть
,
а
.
Н
о
по определению векторного произведения
и
.
Таким образом, , , принадлежат плоскости , перпендикулярной к . Следовательно, векторы , , компланарны (рис.2.8).
Теорема 7. Пусть
,
,
– декартов базис,
,
,
.
Тогда
.
Доказательство. Вернемся к
записи смешанного произведения в
соответствии с определением 7:
.
По доказанному (см. теорему 5)
.
Далее имеем
,
и теорема 7 доказана.