Материал: Лекция 5. Дифференциальные уравнения первого порядка _ продолжение

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пожидаев А.В., Вылегжанин И.А. Математика: Курс лекций для студентов технических специальностей. Ч. III. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2009. – 166 с.

Теорема Пикара2 (о существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть функция f (x, y) определена в некоторой плоской области D. Тогда, если в этой области

непрерывнафункция f (x, y) иеечастнаяпроизводная fy ,тодлялюбойточки x0 , y0 D

задача Коши y' f (x, y), y x0 y0 имеет единственное решение.

Пример:Проверитьсуществованиеи единственность решениядлязадачКоши: 1) y' 2y

, y(0) 1

2) y' 2

y

, y(1) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

Функция

f (x, y) 2

 

 

непрерывна в любой точке верхней

 

полуплоскости

y

 

прямоугольной системы координат

y 0 . Частная производная

f

 

 

1

 

непрерывна

y

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при y 0. Значит, по теоремеПикара, задача Коши y' 2y , y(0) 1 имеет единственное

решение, т.к. по условию,

y0

1 0.

Про задачу Коши y' 2

 

 

 

y(1) 0 нельзя сказать, что она имеет единственное решение,

 

y ,

т.к. в этом случае неравенство y0 0 0 не выполняется.

Рассмотрим подробнее, что происходит с решениями дифференциального уравнения при

 

y0

0. Для этого решим уравнение аналитически.

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

2

 

 

 

 

dy

 

dx;

 

dy

 

dx;

 

 

x C -

 

 

 

 

 

 

 

y ;

 

 

 

 

y

общее решение дифференциального

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y

 

2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения.

Поскольку,

преобразуя уравнение,

его

делили на y ,

то могли

потерять

решение

 

y 0.

 

При

подстановке

функции

y 0

в уравнение

y' 2

 

 

получаем

 

 

y

тождество,

значит, функция y 0 также является решением данного дифференциального

уравнения.

Через точку 1;0 проходят две интегральные кривые дифференциального уравнения:

 

y

x 1 и

y 0, т.е. действительно, решение задачи Коши y' 2

y

, y(1) 0 не

единственно.

 

 

 

2 Пикар Эмиль (1856-1941) французский математик. Труды по дифференциальным уравнениям, теории функций.

Источник: https://studfile.net/preview/16702559/

Смотрите также:

134126
1444
1532
1804
1sma5-0at3rev1
2 Общ фарм +
2270
2409
2737
3 (лекция) Метод нейтрализации