Материал: Лекция 8
52
[ac] = прEa · |c|g, [bc] = прEb · |c|g,
[(a + b)c] = прEa + b · |c|g.
Свойство 3 непосредственно вытекает из последних трех формул и из линейного свойства проекции прEa + прEb = прEa + b.
Пусть теперь векторы a, b и c не компланарны. Так как три вектора [(a + b)c], [ac] и [bc] ортогональны к вектору c, то эти три вектора компланарны, а стало быть линейно зависимы. Но это означает, что найдутся такие числа α, β и γ, хотя бы одно из которых не равно нулю, так что справедливо равенство
α[(a + b)c] = β[ac] + γ[bc]. |
(8.2) |
Остается доказать, что α = β и α = γ. Докажем, например, что α = β. Для этого, пользуясь уже доказанным распределительным свойством скалярного произведения, умножим равенство (8.2) скалярно на вектор b и учтем, что произведение [bc]b равно нулю. В результате получим α[(a + b)c]b = β[ac]b. Поскольку векторы a, b и c не компланарны, произведение [ac]b не равно нулю, и для доказательства равенства α = β достаточно доказать равенство произведений [(a + b)c]b и [ac]b. Равенство абсолютных величин указанных произведений вытекает из того, что абсолютные величины этих векторов равны объемам двух параллелепипедов с равновеликими основаниями.
Равенство знаков указанных произведений вытекает из определения правой (левой) тройки: очевидно, что тройки acb и (a + b)cb одной ориентации. Равенство α = β доказано. Аналогично (посредством умножения (8.2) скалярно на вектор a доказывается равенство α = γ Свойство 3 полностью доказано.
Остается доказать свойство 4, утверждающее, что векторный квадрат любого вектора равен нулю, но это свойство непосредственно вытекает из определения векторного произведения и из того, что любой вектор a коллинеарен сам с собой.
Отметим, что свойства 2 и 3 сформулированы применительно к первому сомножителю векторного произведения. Аналогичные свойства справедливы и применительно ко второму сомножителю векторного произведения, т. е. можно утверждать, что
[a(αb)] = α[ab] и [a(b + c)] = [ab] + [ac]. |
(8.3) |
Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно и производить сочетание числовых множителей (но при этом необходимо либо сохранять порядок векторных множителей, либо при изменении этого порядка менять знак на противоположный).
8.5. Векторное произведения в декартовых координатах. |
53 |
8.5. Векторное произведения в декартовых координатах.
Теорема 8.4. Если два вектора a и b определены своими декартовыми прямоугольными координатами
a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, |
|
то векторное произведение этих векторов имеет вид |
|
[ab] = {yLz2 − y2z1, z1x2 − z2xL, x1y2 − x2y1}, |
(8.4) |
или
i j k
[ab] = |
x1 |
y1 |
z1 |
|
(8.5) |
|
x2 |
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
Раскрывая определитель (8.5), по элементам первой строки, получаем разложение вектора [ab] по базису i, j, k.
Доказательство. Составим из тройки базисных векторов i, j и k все возможные пары и для каждой из пар подсчитаем векторное произведение. Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, получим:
[ii] = 0, [ij] = k, [ik] = - j,
[ji] = - k, [jj] = 0, [jk] = i,
[ki] = j,
[kj] = -i, (8.6) [kk] = 0.
Далее, принимая во внимание, что a = x1i+ y1j+ z1k, b = x2i+ y2j+ z2k, получим
[ab] = x1x2[ii] + x1y2[ij] + x1z2[ik]
+y1x2[ji] + y1y2[jj] + y1z2[jk]
+z1x2[ki] + z1y2[kj] + z1z2[kk]
= (yLz2 − y2z1)i + (z1x2 − z2xL)j + (x1y2 − x2y1)k
Теорема доказана.
Следствие.
Если два вектора a = {x1, y1, z1} и b = {x2, y2, z2} коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т. е.
x1 = y1 = z1 x2 y2 z2
Заметим, что в знаменателях последних равенств могут стоять нули. Чтобы обойти эту трудность, мы договоримся всякую пропорцию a/b = c/d понимать в смысле равенства ad = bc. Для доказательства следствия достаточно заметить, что из равенства нулю векторного произведения и из формулы (8.5) вытекают равенства
y1z2 = y2z1, z1x2 = z2x1, x1y2 = x2y1,
54
которые в силу сделанного выше замечания эквивалентны доказываемым пропорциям.