Материал: Лекция N 1-10

С учетом (8) соотношение (7) можно записать, как:

Полученное уравнение представляет собойконтурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу контурных токов:

где - матрица контурных сопротивлений; - матрица контурных ЭДС.

В развернутой форме (12) можно записать, как:

т о есть получили известный из метода контурных токов результат.

Рассмотрим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4)и шесть обобщенных ветвей (n=6).Число независимых контуров, равное числу ветвей связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с выбранным деревом (ветви 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

З апишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей главных контуров, поскольку каждая ветвь связи входит только в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления ветвей связи, получим:

.Диагональная матрица сопротивлений ветвей

Матрица контурных сопротивлений

.

Матрицы ЭДС и токов источников

Тогда матрица контурных ЭДС

.

Матрица контурных токов

Таким образом, окончательно получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов показывает, что полученные три уравнения идентичны тем, которые можно записать непосредственно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по методу контурных токов.

Метод узловых потенциалов в матричной форме

На основании полученного выше соотношения (4), представляющего собой, как было указано, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

где - диагональная матрица проводимостей ветвей, все члены которой, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю.

МатрицыZ  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицуАи учитывая первый закон Кирхгофа, согласно которому

 получим:

Выражение (16) перепишем, как:

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах ветвей:

Тогда получаем матричное уравнение вида:

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если обозначить

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по методу узловых потенциалов:

где - матрица узловых проводимостей; - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:

то есть получили известный из метода узловых потенциалов результат.

Рассмотрим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.

Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 ветвей (n=5). Граф схемы с выбранной ориентацией ветвей представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

Диагональная матрица проводимостей ветвей:

где .

Матрица узловых проводимостей