Материал: m18

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Методические указания к выполнению лабораторных работ М–18 по курсу общей физики для студентов всех специальностей

Томск 2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ

МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: определение модуля сдвига и момента инерции диска методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка,

дополнительные грузы (цилиндры или шары), электрический секундомер, штангенциркуль, весы, микрометр, сантиметровая лента.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

Всякое изменение размеров или формы твёрдого тела под действием внешних сил называется деформацией. При деформации происходят смещения частиц, находящихся в узлах кристаллических решеток твердых тел, из первоначальных положений равновесия в новые. Этому препятствуют силы взаимодействия между частицами, вследствие чего в деформированном теле возникают упругие внутренние силы, которые уравновешивают

внешние силы, приложенные к телу (в любой момент времени Fвнеш = Fупруг). Работа внешней силы, совершённая при деформации тела запасается в

теле в виде энергии упругой деформации, которая освобождается при снятии нагрузки.

Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия вызывающей её силы. При этом происходят смещения частиц из новых положений равновесия в кристаллической решетке в прежние. В деформированном теле возникают напряжения.

Напряжением σ называется физическая величина, численно равная упругой силе dFупр, приходящейся на единицу площади dS сечения тела:

σ = dFdSупр = dFdSвнеш .

При равномерной нагрузке напряжение равно:

σ = FвнешS = FSупр .

Напряжение называется нормальным, если сила направлена по нормали

к площадке dS, т.е. σ = dFdS .

Если сила направлена по касательной к площадке dS, то напряжение называется касательным, т.е. στ = dFdS|| .

Мерой деформации является относительная деформация, равная отношению абсолютной деформации ∆х к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры или форму тела.

Напряжение σ при упругой деформации тела пропорционально относительной деформации (закон Гука):

2

σ = K ∆xx ,

где К – модуль упругости, численно равный напряжению, которое возникает при относительной деформации, равной единице.

Простейшей деформацией является продольное или одностороннее растяжение (сжатие), в результате которого происходит изменение длины тела под действием внешней растягивающей (или сжимающей) силы.

Относительная деформация в этом случае ∆xx = ∆ll , где l – первоначальная длина, ∆l – изменение длины под действием деформирующей силы. В случае

Коэффициент К в этом случае – модуль упругости (или модуль Юнга). Другими видом деформации является деформация сдвига (сдвиг). Сдвигом – называется деформация, при которой все плоские слои

твёрдого тела, параллельные некоторой плоскости (плоскости сдвига), не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу

(рис. 1).

х

Рис. 1.

При равномерной нагрузке сдвиг происходит под действием силы F||, приложенной касательно к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань

AD закреплена неподвижно. Мерой деформации ∆xx является угол сдвига α

(относительный сдвиг), выраженный в радианах. Для малых деформаций

α= tgα = ∆xx (1), где ∆x = CC' – абсолютный сдвиг,

х– размер тела.

3

таким образом, касательное напряжение пропорционально углу сдвига (закон Гука). Коэффициент К в этом случае носит название модуль сдвига и

обозначается G, или στ =Gα (3).

Разновидностью деформации сдвига является деформация кручения (кручение).

Кручением называется деформация образца с одним закреплённым концом под действием пары сил, направленных по касательной к сечению образца.

Вращающий момент этой пары сил называется крутящим моментом Мкр. Кручение состоит в относительном повороте параллельных друг другу сечений, проведённых перпендикулярно к оси образца. В случае кручения круглого цилиндрического тела сечения, перпендикулярные к оси вращения, сохраняя форму, остаются

параллельными друг к другу, однако по отношению к закреплённому концу они повёрнуты на угол сдвига α (рис. 2).

Рассмотрим деформацию кручения цилиндрического образца (цилиндрической проволоки) радиусом R длиной L с закреплённым основанием (рис. 2).

Если верхнее основание цилиндра поворачивается на угол ϕ, то оно оказывается сдвинутым относительно нижнего основания на угол α.

Чтобы повернуть верхнее основание на угол ϕ необходимо приложить внешние силы касательные к данному основанию, следовательно, в образце возникает касательное напряжение στ. Любой элемент этого сечения

повернулся на угол ϕ. На любую элементарную площадку верхнего

4

Отсюда крутящий (вращающий) момент внешних сил, действующих на верхнее основание цилиндра

Таким образом, момент внешних сил, закручивающий на угол ϕ однородный цилиндрический стержень длиной L и радиусом R, равен

где постоянная f называется модулем кручения и показывает, какой крутящий момент необходимо приложить к телу, чтобы вызвать в теле сдвиг слоёв, равный одному радиану. (При больших ϕ закон Гука не выполняется.) Модуль кручения зависит от размеров деформируемого тела и его формы. Величина f зависит от модулясдвигаG. Длятелацилиндрическойформы

В любой момент времени, крутящий момент, создающий в теле деформацию кручения равен моменту внутренних упругих сил,

препятствующих деформации. Так как Мкр = –Мвнутр, то после прекращения действия внешних сил внутренние упругие силы стремятся вернуть тело в

исходное состояние. Тело под действием вращающего момента внутренних сил начнет поворачиваться (будет совершать крутильные колебания).

Согласно основному закону вращательного движения дифференциальное уравнение крутильных колебаний, возникающих при кручении, имеет вид

где I – момент инерции цилиндрической проволоки относительно оси вращения.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

ϕ =ϕ0 sin(ωt +α0 ) ,

где ϕ0 – амплитудное значение угла сдвига.

Таким образом, ω является угловой частотой колебаний цилиндрической проволоки, период которых

где I – момент инерции проволоки, f – модуль кручения проволоки.

Если к свободному основанию закреплённой цилиндрической проволоки прикрепить тело (например, диск) с моментом инерции I1

5