Материал: m18
относительно оси проволоки, то тело (диск) вместе с проволокой будет совершать крутильные колебания с периодом
T = 2π I1 + I . |
|
1 |
f |
|
|
Если момент инерции проволоки относительно оси вращения мал по сравнению с моментом инерции тела относительно этой же оси
I<< I1,
то |
T |
= 2π I1 . |
(7) |
|
|
1 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
Если изменить момент инерции тела (прибавить к диску дополнительные грузы в виде двух или четырёх одинаковых цилиндров или шаров на одинаковом расстоянии от оси вращения), то период колебаний будет равен
T |
= 2π I2 . |
|
2 |
f |
|
|
|
|
Момент инерции диска с дополнительными грузами I2 равен сумме моментов инерции тела (диска) I1 и дополнительных грузов I0 согласно теореме Штейнера:
I2=I1+I0,
а модуль кручения проволоки (подвеса) остаётся неизменным
T = 2π I1 + I0 . |
(8) |
|
2 |
f |
|
|
|
|
Таким образом, изучая кручение закрепленной проволоки, к свободному основанию которой прикреплен диск с дополнительными грузами, можно экспериментально определить модуль кручения проволоки и момент инерции диска.
Определение модуля кручения и модуля сдвига проволоки
Решая совместно два уравнения (7) и (8) относительно модуля кручения f получим:
f = |
4π2 I |
0 |
|
. |
(9) |
||
T 2 |
−T |
2 |
|||||
|
|
|
|||||
|
2 |
|
1 |
|
|
||
Учитывая (5) получим формулу для нахождения модуля сдвига
G = |
2Lf |
|
2L4πI0 |
|
||
πR4 |
= |
R4 |
(T 2 |
−T 2 ). |
(10) |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
Момент инерции дополнительных грузов I0 найдём согласно теореме Штейнера.
Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции и произведения массы тела на квадрат расстояния l между осями.
6
Момент инерции дополнительных грузов (2 или 4 цилиндра радиусом r каждый), закрепленных на диске на расстоянии l от оси вращения и обладающих общей массой m, равен
I0 = 0,5mr2 + ml2 |
. |
(11) |
Момент инерции дополнительных грузов (2 или 4 шара радиусом r каждый), расположенных на расстоянии l от оси вращения, и обладающих общей массой m, равен
I0 = |
2 mr2 + ml2 . |
|
|
(12) |
||
|
5 |
|
|
|
|
|
И тогда модуль сдвига можно найти по формуле (13) если |
||||||
дополнительными грузами служат цилиндры |
|
|
|
|
||
G = |
4πLm(r2 |
+ 2l |
2 ) |
. |
(13) |
|
R4 (T 2 −T 2 ) |
||||||
|
|
|
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
Если же дополнительными грузами являются шары, то модуль сдвига можно определить по формуле:
G = |
16πLm(r2 |
+ 2,5l |
2 ) |
. |
(13) |
5R4 (T 2 |
−T 2 ) |
|
|||
|
|
|
|
||
|
2 |
1 |
|
|
|
Нахождение момента инерции диска относительно оси, проходящей через центр тяжести и совпадающей с осью вращения проволоки
Решая два уравнения (7) и (8) относительно момента инерции, исключив модуль кручения, найдем момент инерции диска
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
I1 = |
I0 T |
|
1 |
(14) |
|
|
|
2 |
−T 2 . |
|||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ |
|
|||||
|
Схема экспериментальной |
|
|
|
|
||
установки |
для |
определения |
|
|
|
|
|
модуля сдвига и момента инерции |
|
|
1 |
|
|||
диска представлена на рис. 3. |
|
|
|
||||
|
|
L |
|
||||
Установка |
носит |
название |
|
|
|
||
крутильный маятник. |
|
r |
|
|
|||
|
На стальной проволоке (1), |
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
|||
один |
конец |
которой жестко |
3 |
|
l |
||
|
(2). |
||||||
закреплен, подвешено тело (диск) |
|
|
|
||||
На |
диске |
закреплены |
|
|
|
|
|
дополнительные грузы (цилиндры |
2 |
|
|
или |
|||
шары) (3). Система диск- |
|
|
|
||||
проволока |
может |
совершать |
|
|
Рис. 3 |
|
|
колебания |
|
относительно |
|
|
|
|
|
вертикальной оси, совпадающей с осью проволоки.
7
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Подвешенное к длинной проволоке тело (диск) привести в крутильные колебания. Для этого диск повернуть на небольшой угол относительно оси, проходящей вдоль подвеса, и отпустить. Измерить время t1 , которое требуется для совершения N1 (не менее 10) колебаний, и вычислить период колебания T1 . Опыт повторить пять раз. (Угол поворота должен быть тем же). Период– этовремяодногополногоколебания.
T = Nt ,
где t – время, N – число колебаний. Результаты занести в табл. 1.
2.Закрепить дополнительные грузы (2 или 4 цилиндра или шара, по указанию преподавателя) на диске на одинаковых расстояниях от оси вращения.
3.Привести диск с дополнительными грузами в крутильные колебания, тем же способом определить время t2 , которое требуется для совершения N2 (не менее 10) колебаний и вычислить период колебаний. Опыт повторить 5 раз. Результаты занести в табл. 1.
4.Убрать дополнительные грузы с диска и при помощи весов определить их общую массу (один раз). Результаты занести в табл. 2.
Таблица 1
№ |
N |
1 |
t (с) |
T (с) |
N |
2 |
t |
2 |
(с) |
T (с) |
I |
0 |
(кг м2) |
I |
1 |
(кг м2) |
G |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(Н/м ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Штангенциркулем измерить пять раз диаметры (радиусы r) дополнительных грузов (цилиндров или шаров) и расстояния l от оси вращения до точки закрепления тел на диске. Результаты занести в табл. 2.
6.Измерить сантиметровой лентой длину L проволоки, на которой прикреплен диск. Результаты занести в табл. 2.
7.Микрометром измерить в нескольких местах диаметр проволоки d . Определить радиус R проволоки. Результаты занести в табл. 2.
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
||||
№ |
|
R( м) |
r( м) |
l(м) |
m(кг) |
|
L( м) |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
~ |
|
~ |
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
8. |
|
|
|
|
|
, |
, |
, |
|||||
Вычислить средние арифметические значения величин T1 |
, T2 |
r , |
l |
R |
|||||||||
~
L .
9. Вычислить по формуле (11) или (12) момент инерции дополнительных грузов I 0 . И по формуле (14) момент инерции диска I1 и результат
показать преподавателю.
10. Вычислить модуль сдвига по формуле (10) и результат показать преподавателю.
11. Сравнить полученный результат с теоретическим значением модуля сдвига для данного материала и сделать вывод.
12. По имеющимся данным оценить момент инерции проволоки. Убедиться, что I << I1 (по указанию преподавателя).
13. Подсчитать относительную погрешность для момента инерции
|
дополнительных грузов, находящихся на расстоянии l |
от оси вращения |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
по формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
для цилиндров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
~ |
|
|
|
~ |
|
2 |
|
|
|
|
|
~ |
2 |
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
∆I0 |
= |
∆m |
|
|
+ |
|
2l∆l |
|
|
+ |
|
|
|
r∆r |
|
|
=ε |
||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
~2 |
|
1 ~ 2 |
~2 |
|
1 |
~2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
I0 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
+ |
|
|
|
|
r |
|
|
l |
|
+ |
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
б) |
для шаров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ ~ |
2 |
|
|
4 |
~ ~ |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
~ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
∆r |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
∆I |
0 |
= |
∆m |
|
+ |
|
2l |
∆l |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
=ε |
|||||||||||||
|
|
~ |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
~2 |
|
|
2 |
|
|
|
~2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
I0 |
|
|
m |
|
|
|
|
+ |
|
~2 |
|
|
|
|
+ |
|
~2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
5 |
|
|
r |
|
|
l |
|
5 |
|
r |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|||||||
14. |
Подсчитать абсолютную погрешность |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∆I0 |
=εI0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
15. |
Записать результат в виде: |
|
I0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(I |
0 ± ∆I0 )кг м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Какая физическая величина является мерой инертности при поступательном движении? Какая физическая величина является мерой инертности при вращательном движении?
2.От чего зависит момент инерции абсолютно твердого тела?
9
3.Какими способами можно определить момент инерции абсолютно твердого тела?
4.Сформулируйте теорему Штейнера. Приведите пример доказательства теоремы.
5.Каков физический смысл модуля кручения?
6.Что такое относительная деформация?
7.Каковы отличительные признаки различных типов деформаций?
8.Что такое деформация сдвига? Кручения? Всегда ли выполняется закон Гука?
9.Как рассчитать момент инерции проволоки относительно оси, проходящей вдоль проволоки?
10.Исследуйте зависимость периода колебаний диска от амплитуды крутильных колебаний.
10