Материал: Магнетизм_2

Контур (виток) с током в магнитном поле.

Магнитный момент контура с током

Выясним, как ведёт себя контур с током в магнитном поле. Начнём со случая, когда поле однородно (В = const). На элемент контура dl действует сила

(2.1)

Результирующая таких сил равна

так как I = const и В = const, то I и В можно вынести за знак интеграла:

Векторный интеграл поэтому в однородном поле сила F = 0. Это справедливо для контуров любой формы (в том числе и не плоских) при произвольном расположении контура относительно направления поля. Однако момент этой силы М, вообще говоря, отличен от нуля. Займёмся его вычислением.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением плоских контуров. Вычислим результирующий вращательный момент, создаваемый силами (2.1). Заметим, прежде всего, что поскольку в однородном поле сила, действующая на контур, равна нулю, результирующий момент относительно любой точки будет один и тот же. Действительно, результирующий момент относительно некоторой точки О определяется равенством

где r ― радиус-вектор, проведённый из точки О в точку приложения силы dF. Возьмём точку , смещённую относительно О на отрезок b. Тогда соответственно Поэтому результирующий момент относительно точки равен

Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в однородном магнитном поле В. Пусть контур с током ориентирован так, что положительная нормаль к контуру (т. е. плоскость витка ̸ ̸ B) (рис.2.1). Положительной называется нормаль, направление которой связано с направлением тока в контуре правилом правого винта.

Разобьём площадь контура на узкие параллельные направлению вектора В полоски ширины dy (см. рис. 2.1, а; на рис. 2.1, б одна такая полоска изображена в увеличенном виде). На ограничивающий полоску слева элемент контура dl₁ действует сила dF₁, направленная за чертёж. Модуль этой силы равен (см. рис. 2.1, б). На ограничивающий полоску справа элемент контура dl₂ действует сила dF₂, направленная на нас. Модуль этой силы равен

Полученный нами результат показывает, что силы, приложенные к противоположным элементам контуров dl₁ и dl₂, образуют пару, момент которой равен

(dS ― площадь полоски). Из рис. 2. 1 видно, что вектор dM перпендикулярен к векторам n и В и, следовательно, может быть записан в виде

Просуммировав это выражение по всем полоскам, получим вращательный момент, действующий на контур:

(2.2)

(поле предполагается однородным, поэтому произведение [nхB] для всех полосок одинаково и может быть вынесено за знак интеграла. Величина S в выражении (2.2) есть площадь контура.

Выражение (2.2) можно представить в виде

(2.3)

Эта формула сходна с формулой определяющей вращательный момент, действующий на электрический диполь в электрическом поле. Аналогом Е служит в (2.2) вектор В, а аналогом дипольного электрического момента р_e ― выражение ISn. Это послужило основанием для того, чтобы назвать величину

(2.4)

дипольным магнитным моментом контура с током. Направление вектора р_m совпадает с направлением положительной нормали к контуру.

Формула (2.4) справедлива и для соленоида, поскольку последний можно рассматривать как систему кольцевых токов. Магнитный момент соленоида определяется формулой (2.4), если под I понимать полный ток, текущий по боковой поверхности соленоида, а под S ― площадь его поперечного сечения.

Для проволочной спирали с малым шагом, состоящей из N витков, можно написать:

Воспользовавшись обозначением (2.4), можно записать формулу (2.3) следующим образом:

(2.5)

В случае, когда векторы р_m и В имеют одинаковое направление, магнитные силы, действующие на отдельные участки контура, не стремятся ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места; они лишь стремятся растянуть контур в его плоскости. Если векторы р_m и В имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур.

В самом общем случае вращательный момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой

(2.6)

Модуль вектора М равен

(2.7)

Для того чтобы угол α между векторами р_m и В увеличить на dα, нужно совершить против сил, действующих на контур в магнитном поле, работу

(2.8)

Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив её над каким-нибудь телом. Следовательно, работа (2.8) идёт на увеличение потенциальной энергии W_{p мех}, которой обладает контур с током в магнитном поле,

Интегрируя, находим

Если положить const = 0, формула приобретает вид

(2.9)

(ср. с ).

Параллельная ориентация векторов р_m и В отвечает минимуму энергии (2.9) и, следовательно, положению устойчивого равновесия.

Величина (2.9) представляет собой не полную потенциальную энергию контура с током, а лишь ту её часть, которая обусловлена существованием вращательного момента (2.6). Чтобы подчеркнуть это, мы снабдили символ величины (2.9) индексом «мех». Полная потенциальная энергия контура включает, кроме (2.9), ещё другие слагаемые.

Теперь рассмотрим плоский контур с током в неоднородном магнитном поле. Для простоты будем вначале считать контур круговым. Предположим, что поле быстрее всего меняется в направлении x, совпадающем с направлением В в том месте, где расположен центр контура, и что магнитный момент контура ориентирован по полю (рис. 2. 2).

В рассматриваемом случае В ≠ const. и выражение Силы Составляющие dF_t этих сил параллельны контуру и создают усилия, растягивающие или сжимающие контур. Составляющие же dF_n, перпендикулярные к плоскости контура, складываясь, дадут некоторую силу F, стремящуюся переместить контур в магнитном поле.

С помощью соотношения найдём выражение для силы Если ориентация магнитного момента по отношению к полю остаётся неизменной (α = const.), то W_p будет зависеть только от x (через В). Для проекции силы на ось x получаем:

По предположению, в других направлениях поле изменяется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь и считать, что F = F_x. Итак,

(2.10)

Согласно полученной нами формуле сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля. Если векторы р_m и В совпадают по направлению (α = 0), сила положительна, т. е. направлена в сторону возрастания В (контур втягивается в область более сильного поля). Если р_m и В антипараллельны (α = π), сила отрицательна, т. е. направлена в сторону убывания В (контур выталкивается из поля).

_{Разумеется,} что, кроме силы F, на контур в неоднородном магнитном поле будет действовать также вращательный момент

_{Магнитное поле контура с током}

_{Рассмотрим поле, создаваемое током, текущем по тонкому проводнику, имеющего форму окружности радиуса R (круговой ток). Найдём индукцию магнитного поля В на оси кругового тока на расстоянии x от центра контура (рис. 2.3).}

_{Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле. Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор В направлен вдоль оси контура. Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующий вектор вклад dB//, равный по модулю Угол α между dl и r прямой, поэтому}

_{Проинтегриров по всему контуру и заменив r на , получим}

_(2.11)

_{Эта формула определяет величину магнитной индукции на оси кругового тока. Приняв во внимание, что векторы В и pm имеют одинаковое направление, можно написать формулу (2.11) в векторном виде:}

_(2.12)

_{Это выражение не зависит от знака x. Следовательно, в точках оси, симметричных относительно тока, В имеет одинаковую величину и направление.}

_{При x = 0 формула (2.12) переходит в формулу для магнитной индукции в центре кругового тока:}

_(2.13)

_{На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R3 по сравнению с x3. Тогда формула (2.12) принимает вид}

_{(на оси тока), (2.14)}

_{аналогичный выражению для напряжённости электрического поля на оси диполя.}

_{Можно показать, что любой системе токов или движущихся зарядов, локализованной в ограниченной части пространства, можно приписать магнитный момент pm (сравни с дипольным электрическим моментом системы зарядов). Магнитное поле такой системы определяется формулой}

_(2.15)

_{В частности поле плоского контура любой формы на больших расстояниях имеет вид}

_(2.16)

_{где r ― расстояние от контура до данной точки, θ ― угол между направлением вектора pm и напрвлением от контура в данную точку поля. При θ = 0 формула (2.16) даёт для модуля вектора В такое же значение, как и формула (2.14).}

_{Из всего сказанного в предыдущем и в данном параграфе вытекает, что дипольный магнитный момент является весьма важной характеристикой контура с током. Этой характеристикой определяется как поле, создаваемое контуром, так и поведение контура во внешнем магнитном поле.}

_{Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле}

_{Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины l (рис. 2. 4). Допустим, что этот контур находится во внешнем магнитном поле, которое мы будем предполагать однодным и перпендикулярным к плоскости контура. При уазанных на рис. 2. 4 направлениях тока и поля сила F, действующая на перемычку, будет направлена вправо и равна}

_{При перемещении перемычки вправо на dx эта сила совершит работу}

_{где ― площадь, пересечённая проводником при движении.}

_{Если вектор В направлен иначе, то его всегда можно разложить на составляющую Вn , перпендикулярную к dS , составляющую Вt , параллельную dS. Так как , то составляющая Вt вызовет силу, перпендикулярную к dx, и работа этой силы будет равна нулю. Поэтому}