Материал: Магнетизм_2

_(2.17)

_{где ― есть магнитный поток через заштрихованный прямоугольник.}

_{Рассмотрм теперь вращательное движение проводника. Пусть элемент длины проводника dl , входящий в цепь тока, поворачивается на угол dα. (рис. 2.5). При движении он описывает площадку , где l ― расстояние элемента от оси вращения О. Сила, действующая на элемент dl в процессе его перемещения, есть Idl·Bn , где Вn ― составляющая индукции, перпендикулярная к S. Поэтому совершаемая работа равна}

_{и выражается той же формулой (2.17), что и при поступательном движении.}

_{Но любое движение проводника можно свести к поступательному и вращательному движениям. Это значит, что формула (2.17) определяет механическую работу для произвольного перемещения проводника.}

_{Этот результат можно выразить ещё следующим образом. Вn равно числу линий магнитной индукции, проходящих через единицу поверхности площадки dS, а Вn dS ― числу линий магнитной индукции, пересекаемых проводников при движении. Поэтому работа, совершаемая при движении проводника с током в магнитном поле, равна произведению из силы тока на число линий магнитной индукции, пересечённых проводником.}

_{Для полной работы получается выражение}

_(2.18)

_{если I = const. Таким образом, работа, совершаемая магнитными силами над током равна произведению силы тока на приращение магнитного потока при перемещении проводника. Здесь Φ1 и Φ2 ― значения магнитного потока через контур в начальном и конечном положении. При перемещении проводника сила тока в нём должна оставаться постоянной.}

_{Условимся при вычислении потока через замкнутый контур с током всегда брать в качестве n в выражении}

(2.19)

_{положительную нормаль, т. е. нормаль, образующую с направлением тока в контуре правовинтовую систему.}

_{Если в (2.19) выражать В в тесла, а S в м2 то магнитный поток окажется также выраженным в единицах СИ ― в веберах (Вб) (Единица магнитного потока в системе СИ вводится из закона электромагнитной индукции).}

_{Отметим, что работа (2.18) совершается не за счёт энергии внешнего магнитного поля, а за счёт источника, поддерживающем неизменным ток в контуре.}

_{Теорема Гаусса для вектора магнитной индукции}

_{Найдём поток вектора В через произвольную замкнутую поверхность S. Согласно правилу проведения линий В, величина равна количеству линий В, пронизывающих площадку dS. Следовательно, поток вектора В, который определяется формулой численно равен количеству пересечений N линий В с поверхностью S. Пересечение нужно рассматривать как алгебраическую величину. Это означает, что пересечения, соответствующие выходу линий из данного объёма наружу (в этом случае угол α острый), нужно брать со знаком плюс, а пересечения, возникающие при входе линий внутрь объёма (в этом случае угол α тупой), брать со знаком минус. Таким образом, N = Nвыход – Nвход. Между определённым таким способом числом N и потоком ΦВ , имеется числовое равенство}

_{Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому число пересечений, возникающих при выходе линий В из объёма, ограниченного некоторой поверхностью S, всегда равно числу пересечений, возникающих при входе линий в этот объём. Следовательно, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие}

_(2.20)

_{Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.}

_{Заменив в соотвтствии с теоремой Остроградского ― Гаусса поверхностный интеграл в объёмный получим, что}

_{Это равенство должно ыполняться для любого произвольно выбранного объёма V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция равна нулю:}

_(2.21)

_{Силовые поля, дивергенция которых всюду обращаются в нуль, называются соленоидальными или вихревыми полями. Следовательно, магнитное поле является полем соленоидальным. Его источником являются не магнитне заряды, электрические токи.}

_{Т)еорема о циркуляции индукции магнитного поля в вакууме}

_{Обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу}

_{П роще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 2. 6; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертёж). В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции В·dl через ВdlВ (dlВ ― проекция элемента контура на напрвление вектора В). Из рисунка видно, что dlВ равно rdα, где r ― расстояние от провода с током до dl, dα ― угол, на котрый поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Таким образом, подставив выражение для получим}

_(2.22)

_{С учётом равенства (2.22) имеем}

_{При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая всё время поворачивается в одном направлении, поэтому Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 2. 7). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1―2), а затем в противоположном (участок 2 ― 1), вследствие чего равен нулю. Учтя этот результат, можно написать}

_(2.23)

_{где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром L. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.}

_{Знак выражения (2.23) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол α). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (2.23) положительна, в противном случае ― отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причём положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта, ток противоположного направления будет отрицательным.}

_{С помощью соотношения (2.23) легко восстановить формулу для поля прямого тока. В качестве контура интегрирования L возьмём окружность радиуса r с центром на оси провода (рис. 2. 8). В кажлой точке контура вектор В одинаков по величине и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В на длину окружности 2πr, и соотношение (2.23) имеет вид}

_Отсюда

_{Случай неплоского контура отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемещается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (2.23), остаются справедливыми, если под dα подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость. Суммарный угол поворота этой проекции равен 2π, если контур охватывает ток, и нулю в противном случае. Следовательно, мы снова приходим к формуле (2.23).}

_{Формула (2.23) получена для прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например, для кругового тока.}

_{Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции}

_{Каждый из интегралов в этой сумме равен μ0Ik . Следовательно,}

_(2.24)

_{Итак, доказана теорема: циркуляция вектора индукции магнитного поля постоянных токов в вакууме по всякому замкнутому контуру равна сумме токов, пронизывающих контур, умноженной на μ0, причём токи Ik считаются положительными или отрицательными в зависимости от того составляют ли их направления с направлением положительного обхода контура L, право- или левовинтовую систему.}

_{Если плотность тока j конечна, то где S ― любая поверхность, натянутая на контур L, по которому вычисляется циркуляция. При этом формула (2.24) перейдёт в следующую:}

_(2.25)

_{Преобразовав левую часть по теореме Стокса придём к равенству}

_{Полученное равенство должно выполняться про произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитноц индукции пропорцонален вектору плотности тока в данной точке:}

_(2.26)

_{Коэффициент пропорциональности в СИ равен μ0.}

_{Отметим, что формулы (2.24) и (2.26) справедливы только для поля в вакууме в отсутствии меняющихся во времени электрических полей.}

_{Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные результаты с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме:}

_{Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор напряжённости электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом φ (E = –grad φ). Ротор индукции магнитного поля в тех точках, где есть ток, отличен от нуля. Соответственно циркуляция вектора В пропорционально току, охватываемому контуром. Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с В, аналогичным E = –grad φ. Этот потенциал не был бы однозначным ― при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное μ0j. Поле, у которого ротор отличен от нуля называют вихревым или соленоидальным.}

_{Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой фнкции А:}

_{(дивергенция ротора любого вектора тождественно равна нулю). Функция А назвается векторным потенциалом магнитного поля.}

_{Поле тороида и соленоида}

_{Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис.2. 9).}

_{В озьмём контур в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центорм тороида. В силу симметрии вектор В в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру. Следовательно, циркуляция В равна}

_{(В ― магнитная индукция в тех точках, где проходит контур).}