Материал: Методы оптимального проектирования устройств цифровой обработки сигналов. Борисов В.И

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания вычисляется по формуле:

(1.9)

где E_n - множество частот в полосе пропускания.

Подавление боковых лепестков АЧХ в полосе задерживания вычисляется по формуле:

(1.10)

где E_з – множество частот в полосе задерживания.

Контроль ширины переходной полосы АЧХ удобно осуществлять, используя критерий оптимальности вида

(1.11)

где - частота среза; - граничная частота полосы задерживания.

Вид критерия исключает возможность получения функции с минимумом в отрицательной области частот. При этом считается, что поведение АЧХ в переходной полосе ничем не ограничивается, - фиксировано, а должно быть таким, чтобы интервал был возможно меньшим. В данном случае параметр войдет в вектор внутренних варьируемых параметров . В ряде задач проектирования, наоборот, имеет фиксированное значение, а является варьируемой переменной. В наиболее общем случае обе частоты и могут быть варьируемыми переменными.

Важным критерием для оценки качества АЧХ, в особенности при проектировании узкополосных ЦФ, является локальный критерий , контролирующий выполнение требований ЧТЗ по обеспечению требуемой ширины полосы пропускания по заданному заказчиком уровню. Наиболее часто ширина полосы пропускания АЧХ контролируется по уровню 3 дБ. Аналогичным образом можно ввести локальные критерии для контроля выполнения требований ЧТЗ к ширине полосы пропускания АЧХ по любому другому уровню, например 6 дБ, 40 дБ или 60 дБ. Все эти критерии вычисляются численно после расчета АЧХ. В ряде случаев для оценки оптимальности АЧХ используют коэффициент прямоугольности по заданным уровням, например, 3 дБ и 40 дБ, вычисляемый по формуле:

(1.12)

где - ширина полосы пропускания АЧХ фильтра по уровню 40 дБ; - ширина полосы пропускания АЧХ фильтра по уровню 3 дБ.

Стабильность УЦОС связана с изменением их частотных или временных характеристик при воздействии различных дестабилизирующих факторов (температура, старение, радиация и т.п.) [90]. Она зависит, в основном, от структуры устройства и значений его внутренних параметров. Меру стабильности АЧХ (ФЧХ, ГВЗ, ПХ, ИХ) ЦФ можно оценивать, например, функционалом вида:

(1.13)

где - относительная чувствительность АЧХ к параметру в точке ; P - число точек дискретизации по оси частот.

Кроме перечисленных ЛКО большое практическое применение находят также следующие критерии: - норма отклонения ФЧХ от линейной, - неравномерность ГВЗ, - норма отклонения характеристики ГВЗ от заданной.

Известные ЛКО жестко связывают относительную форму характеристик и их абсолютные значения. Поэтому в ряде случаев необходима иная, более гибкая структура ЛКО, в которых эти требования можно разделить и задавать их при оптимизации УЦОС с разной степенью приоритета. Структура такого ЛКО для АЧХ ЦФ имеет вид:

, (1.14)

где и - весовые коэффициенты, а - «эталонная» АЧХ.

Очевидно, что в первом слагаемом функции сравниваются значения и лишь по относительной форме, в то время как во втором – по абсолютным значениям максимумов. Весовые коэффициенты задаются в пределах 0 1, в соответствии с выбранным приоритетом, при этом

Приведенный критерий имеет необходимую гибкость в формализации требований к АЧХ ЦФ. В тех случаях, когда важно получить лишь относительную форму АЧХ ЦФ, оптимизацию следует производить при весовых коэффициентах и . Если же форма АЧХ не важна, а желательно приблизить лишь абсолютные значения функции на какой-то частоте, необходимо положить

Структура ЛКО для ФЧХ имеет вид:

+

+ + , (1.15)

где , - весовые коэффициенты, причем , а ; - «физически» реализуемая ФЧХ; - «эталонная» ФЧХ; - фиксированная частота.

Изменением весовых коэффициентов в (1.15) можно получить любую комбинацию требований к ФЧХ. Так, в случае, когда важно получить лишь заданную относительную форму ФЧХ, независимо от ее наклона и абсолютного значения фазы на частоте , следует производить минимизацию при а и т. п.

Аналогичным способом строится структура ЛКО для других характеристик. В результате такого разделения функций внутри формального критерия для характеристик УЦОС удается получить необходимую гибкость в формализации требований к частотным и временным характеристикам УЦОС, что, в свою очередь, позволяет реализовать проблемно – адаптивный подход [103] при их организации.

Важнейшими показателями качества ЦФ являются аппаратные затраты на реализацию и стоимость. Аппаратные затраты на реализацию и стоимость ЦФ определяются, в основном, объемом алгебраических операций умножения и сложения, которые можно приближенно оценивать порядком N ЦФ. Следовательно, в ряде случаев для сравнительной оценки аппаратных затрат на реализацию ЦФ можно использовать критерий:

. (1.16)

Перечисленный базовый набор ЛКО , k [1,M], может расширяться и модифицироваться путем введения новых критериев, реализующих специфические требования ЧТЗ. Следовательно, в зависимости от конкретных требований ЧТЗ число ЛКО можно либо существенно расширить, либо, наоборот, уменьшить. Для общности и простоты изложения в дальнейшем полагаем, что имеется M (M  2,3,…) ЛКО, в число которых входят и выше рассмотренные. Заметим, что приведенная нумерация ЛКО имеет условный характер и в дальнейшем не соблюдается.

Определение состава ЛКО из всего множества возможных, в том числе рассмотренных выше, осуществляется на основе требований ЧТЗ для конкретного устройства. При решении задачи проектирования важно выделить группу независимых критериев. В дальнейшем для простоты полагаем, что все ЛКО стандартизованы [19], приведены к безразмерному виду, положительны и убывают с ростом качества. Для количественной оценки зависимости между парами критериев можно определить значение коэффициента корреляции [85]:

(1.17)

где - математическое ожидание критериев и соответственно; , - дисперсии указанных критериев, причем

.

Если и независимы, то >0, при )>1 можно считать, что между и существует зависимость, близкая к линейной, и один из критериев может быть исключен из рассмотрения.

Наличие нескольких локальных критериев, по существу, отражает ту неопределенность целей, которая присутствует при проектировании любого сколь - нибудь сложного технического объекта [1 - 3, 7 - 11, 13, 18, 68, 96], в том числе и УЦОС. Каждый из локальных критериев желательно минимизировать или максимизировать

(1.18)

Однако при составлении формализованного ЧТЗ, а также в процессе проектирования требования (1.18) могут быть изменены или дополнены с помощью следующих соотношений, называемых критериальными ограничениями [85, 96]:

(1.19)

(1.20)

Соотношения (1.18) и (1.19) - (1.20) не исключают друг друга. Напротив, как правило, оптимизационные задачи (1.18) решаются с учетом ограничений (1.19) –(1.20) , отражающих требования к выходным параметрам, подлежащим безоговорочному выполнению.

Критериальные ограничения принципиально отличаются от функциональных. Выполнение критериальных ограничений отражает стремление получить оптимальный или близкий к оптимальному вариант устройства среди множества альтернативных вариантов устройства, заведомо удовлетворяющих функциональным ограничениям, то есть функционирующих правильно. В этом случае можно сказать, что критериальные ограничения по своей сути являются менее жесткими, чем функциональные. Однако, грань между функциональными и критериальными ограничениями может быть весьма условной и зависит от конкретной задачи проектирования [96].

Список параметрических, функциональных и критериальных ограничений составляет основную часть ЧТЗ на проектирование устройства. Эти ограничения выделяют допустимое множество D, которое содержит решения, удовлетворяющие требованиям ЧТЗ. В множестве D имеется подмножество П неулучшимых или так называемых парето-оптимальных [1 -2, 7 - 11, 13 - 14, 18 - 19, 68, 85] вариантов структур УЦОС, которые нельзя одновременно улучшить по всем оптимизируемым критериям, не ухудшив при этом значения хотя бы одного из этих критериев.

Очевидно, что вариант оптимального устройства, которое запускается в серийное производство, обязательно должен быть парето-оптимальным. Действительно, предприятие, выпускающее допустимые УЦОС, но не паретовские, наносят себе экономический ущерб. Ведь это означает, что такие устройства могут быть улучшены одновременно по всем критериям, то есть устройство заведомо неконкурентоспособно и заведомо плохо используются его внутренние ресурсы. Однако далеко не всякое паретовское решение устраивает проектировщика. Именно поэтому принципиально важно уметь строить содержательное (представительное) паретовское множество решений, из которого проектировщик в дальнейшем определяет оптимальное. Следовательно, все разрабатываемые УЦОС должны быть парето-оптимальными. Особенно важно соблюдение этого условия, когда речь идет о массовом и серийном производстве. В этом плане надо помнить, что разница в себестоимости между просто хорошими (допустимыми) устройствами и оптимальными весьма существенна.

Таким образом, в наиболее общем случае математически задача оптимального проектирования УЦОС может быть сформулирована в следующем виде: требуется найти из множества возможных вариантов структуру S{S₁, ..., S_K} и вектор параметров Х=(X₁,X₂, ,X_N), которые обеспечивают наилучшее значение векторной функции цели:

, (1.21)

где множество D образовано ограничениями (1.4) – (1.6), (1.19) и (1.20).

Ценность приведенной векторной постановки задачи оптимального проектирования УЦОС заключается прежде всего в том, что она ориентирована на решение некоторой обобщенной задачи максимальной сложности. Эта постановка включает в себя все известные в литературе задачи оптимального проектирования УЦОС, приведенные, например, в работе [15, 33, 72]. Универсальность векторной задачи оптимального проектирования обеспечивается некоторой избыточностью ЛКО и ограничений, а специализация - ее настройкой, осуществляемой, например, путем отбора состава локальных критериев , k[1,M] и ограничений (1.4) – (1.5), (1.19) – (1.20). В частном случае при M=1 задача представляет собой задачу нелинейного программирования (НЛП) со скалярным критерием . Следовательно, ЗВО обобщает обычную задачу скалярной оптимизации на случай M>1, что в общем случае обеспечивает более адекватное представление реальной задачи оптимального проектирования. Настройка на конкретную задачу выполняется как на основе исходных данных, заложенных в требованиях ЧТЗ, так и в процессе решения задачи.