Статья: Многомерные сигналы и системы

z(n,m) = s(i,j) h_ij(n,m), (2.3)

где h_ij(n,m) - отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик h_ij(n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Т[s(n-N,m-M)] = z(n-N,m-M).

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач - линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (2.3), описывается выражением:

h_ij(n,m) = T[?(n-n_i,m-m_j)].

Для частного случая i = j = 0 имеем:

h_o(n,m) = T[?(n,m)].

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

h_ij(n,m) = h_o(n-i,m-j) = h(n-i,m-j), (2.4)

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (2.4) в выражение (2.3), получаем:

z(n,m) = ?_i ?_j s(i,j) h(n-i,m-j). (2.5)

Двумерная дискретная свертка (2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

z(n,m) = ?_k ?_l h(k,l) s(n-k,m-l), (2.5')

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении - результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (_**):

z(n,m) = h(k,l) _** s(n-k,m-l).

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

z()= h() _** s(-).

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

h(k,l) = h(k) h(l), (2.6)

то выражение (2.5') принимает вид:

z(n,m) = ?_k h(k) ?_l h(l) s(n-k,m-l), (2.7)

или: z(n,m) = ?_k h(k) g(n-k,m), g(n-k,m) = ?_l h(l) s(n,m-l).

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика: ?_k ?_l |h(k,l)| < .

Специальные двумерные системы. На практике используются также системы с несколькими входами и/или выходами.

Допустим, система имеет i-входы и j-выходы, линейна и инвариантна к сдвигу по переменной t. Если на i-вход системы поступает одномерный единичный импульс ?_i(t) при нулевых сигналах на остальных входах, то j-выходные сигналы будут импульсным откликом системы h_ij(t). При известном полном ансамбле значений h_ij для всех i-входов, для произвольной комбинации входных сигналов s_i(t) сигнал на j-выходе будет определяться выражением:

z_j(t) = ?_i ?_k h_ij(k) s_i(t-k). (2.8)

3. Частотные характеристики сигналов и систем.

Частотный отклик системы. Допустим, что двумерная ЛИС-система имеет импульсный отклик h(k?x,l?y). Подадим на вход системы сигнал вида комплексной синусоиды:

s(n,m) = exp(jn?x?_x+jm?y?_y),

где ?_x и ?_y - значения частоты сигнала соответственно по координатам x и y. Принимая ?x = 1, ?y = 1 и выполняя двумерную свертку (2.5), получаем:

z(n,m) =h(k,l) exp[j?_x(n-k)+j?_y(m-l)] =

= exp(jn?_x+jm?_y) h(k,l) exp(-jk?_x-jl?_y) = H(?_x,?_y) exp(jn?_x+jm?_y).

H(?_x,?_y) = h(k,l) exp(-jk?_x-jl?_y). (3.1)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой комплексную синусоиду с теми же значениями частоты, что и у входного сигнала, с изменением амплитуды и фазы за счет комплексного множителя H(?_x,?_y), который носит название частотного отклика (частотной характеристики) системы. Для дискретных сигналов частотный отклик периодичен с периодом 2? по обеим частотным переменным:

H(?_x+2?k,?_y+2?l) = H(?_x,?_y).

Пример расчета частотного отклика системы.

Определить частотную характеристику системы с импульсным откликом:

h(0,0) = 0.25, h(0,1) = 0.125, h(1,0) = 0.125, h(1,1) = 0.0625.

Частотный отклик:

H(?_x,?_y) =h(n,m)exp(-jn?_x-jm?_y) = 0.25+0.125[exp(-j?_x)+exp(j?_x)+exp(-?_y)+exp(j?_y)]+

+0.0625[exp(-j?_x-j?_y)+exp(-j?_x+j?_y)+exp(j?_x-j?_y)+exp(j?_x+j?_y)] = 0.25(1+cos ?_x)(1+cos ?_y).

Система является примером двумерного фильтра нижних частот. Частотный отклик системы на плоскости (?_x,?_y), приведенный на рис. 3.1, имеет осевую симметрию с коэффициентом передачи 1 в центре (?_x=0, ?_y=0) со спадом до нуля при ?_x=? и ?_y=?.

При разделимости импульсного отклика частотный отклик многомерных систем также является разделимой функцией:

h(k,l)= q(k)g(l) ??Q(?_x)G(?_y)= H(?_x,?_y)

Q(?_x) = ?_k q(k) exp(-jk?_x).

G(?_y) = ?_l g(l) exp(-jl?_y).

Импульсный отклик системы. Выражение (3.1) описывает разложение функции Н(?_x,?_y) в двумерный рад Фурье с коэффициентами разложения в виде отсчетов импульсного отклика h(k,l), т.е. прямое преобразование Фурье. Очевидно, что обратным преобразованием Фурье с интегрированием в пределах одного периода из частотного отклика H(?_x,?_y) можно получить импульсный отклик системы:

h(k,l) = H(?_x,?_y) exp(jk?_x+jl?_y) d?_xd?_y. (3.2)

Пример расчета импульсного отклика фильтра.

Определить импульсный отклик идеального фильтра низких частот с прямоугольной частотной характеристикой вида: H(?_x,?_y) = 1 при |?_x|a<?, |?_y|b<?; H(?_x,?_y) = 0 в остальных случаях.

Импульсный отклик: h(k,l) = exp(jk?_x+jl?_y) d?_x d?_y.

Система разделима: h(k,l)= exp(jk?_x) d?_x exp(jl?_y) d?_y= .

Пример расчета неразделимого импульсного отклика.

Определить импульсный отклик идеального кругового фильтра нижних частот:

H(?_x,?_y) = 1 при ?_x²+?_y² <R²<?²; H(?_x,?_y) = 0 в остальных случаях.

Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах: ??=,

????arctg(?_y/?_x), ??= arctg(m/n), при этом выражение 3.2 перепишется в следующем виде:

h(n,m) = ??exp[j? cos(?-?)] d??d??=

= ??J_o(?) d??= (R/2?? J₁(R) /,

где J_o(…), J₁(…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

На рис. 3.2 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен при R = 1 с ограничением по N = 10 и M = 10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 3.2. Круговой низкочастотный фильтр (справа - сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

S(?_x,?_y) = ?_n ?_m s(n,m) exp(-jn?_x-jm?_y). (3.3)

s(n,m) =S(?_x,?_y) exp(jn?_x+jm?_y) d?_xd?_y. (3.4)

2. Теорема о свертке.

z(n,m) = h(n,m) _** s(n,m) ? H(?_x,?_y) S(?_x,?_y) = Z(?_x,?_y).

z(n,m) = c(n,m) s(n,m) ? C(?_x,?_y) _** S(?_x,?_y) = Z(?_x,?_y).

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

аs(n,m)+bz(n,m) ? aS(?_x,?_y)+bZ(?_x,?_y).

2) Пространственный сдвиг:

s(n-N,m-M) ? S(?_x,?_y) exp(-jN?_x-jM?_y).

3) Дифференцирование:

dS(?_x,?_y)/d?_x ? -jn s(n,m),

dS(?_x,?_y)/d?_y ? -jm s(n,m),

d²S(?_x,?_y)/(d?_x d?_y) ? -nm s(n,m).

4) Комплексное сопряжение:

х*(n,m) ? S*(-?_x,-?_y).

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n,m):

S(?_x,?_y) = S*(-?_x,-?_y).

Re [S(?_x,?_y)] = Re [S(-?_x,-?_y)].

Im [S(?_x,?_y)] = -Im [S(-?_x,-?_y)].

5) Теорема Парсеваля:

?_n ?_m s(n,m) s*(n,m) = S(?_x,?_y) S*(?_x,?_y) d?_x d?_y.

В частности, при s(n,m) = s(n,m):

?_n ?_m |s(n,m)|² = |S(?_x,?_y)|² d?_x d?_y,

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n,m), a функция |S(?_n,?_m)|² - спектральную плотность энергии сигнала.

4. Дискретизация двумерных сигналов [9].

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

s(n,m) = s_a(n?x,m?y),

где ?x и ?y - горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала s_a(x,y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения ?x и ?y, как и в одномерном случае, принимаются равными 1.

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот ?_x и ?_y:

S_a(?_x,?_y) =s_a(x,y) exp(-j?_xx-j?_yy) dxdy. (4.1)

s_a(x,y) =S_a(?_x,?_y) exp(j?_xx+j?_yy₎ d?_xd?_y. (4.2)

Дискретные преобразования Фурье:

S(k,l) =s(n,m) exp(-jn??k/N-jm2?l/M), (4.3)

S(k,l) =exp(-jn2?k/N) s(n,m) exp(-jm2?l/M), (4.3')

s(n,m) =S(k,l) exp(-jn2?k/N-jm2?l/M). (4.4)

s(n,m) =exp(-jn2?k/N) S(k,l) exp(-jm2?l/M). (4.4')

Выражения (4.3') и (4.4') показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по линиям n и k соответственно, а первые - одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные - в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал s_a(x,y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

S_a(?_x,?_y) = 0 при |?_x|?/?x, |?_y|?/?x,

то, как и в одномерном случае, сигнал s_a(x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

s_a(x,y) = ?_n ?_m s(n,m). (4.5)

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут "маскироваться", как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект "отражения" от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v₁ = (v₁₁,v₂₁)^T и v₂ = (v₁₂,v₂₂)^T, где T - индекс транспонирования (рис. 4.1). Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

x = v₁₁n + v₁₂m,

y = v₂₁n + v₂₂m.

С использованием векторных обозначений:

=

где = (x,y)^T, =(n,m)^T, =(v₁|v₂)- матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v₁ и v₂ линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала s_a(x,y) матрицей формируется дискретный сигнал: