Статья: Многомерные сигналы и системы

s() s_a( ).

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = (?₁,?₂)^T:

S_a() =s_a() exp(-j^T) d, (4.6)

s_a() =S_a() exp(j^T) d, (4.7)

Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

S() = ?_n s() exp(-j^T), (4.8)

s() =S() exp(j^T) d. (4.9)

где: = (?_х,?_у)^T .

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения s_a() (4.7):

s() = s_a() =S_a() exp(j^T) d.

После подстановки в это выражение значения = ^T, получаем:

s() = S_a(/^T) exp(j^Т) d.

Или, с учетом периодичности по квадратным областям плоскости:

s() = S_a((-2?)/^T) exp(j^Т) d, (4.10)

где - вектор целочисленных значений периодов дискретизированной функции по осям ?_х и ?_у. Сравнивая последнее выражение с выражением (4.9), получаем:

S() =S_a((-2??/^T),

S(^T) = S_a(-), (4.11)

где - матрица периодичности:

^Т = 2?, (4.12)

которой задаются два линейно независимых вектора периодичности спектра, - единичная матрица 2 х 2. Выражение (4.11) определяет связь между преобразованиями Фурье дискретных и аналоговых сигналов.

Как и в одномерном случае, интервалы дискретизации ?x и ?y определяют главный период двумерного спектра соответственно по осям ?_x и ?_y и частоты Найквиста: ?_xN = ?/?x и ?_yN = ?/?y. Спектр дискретного сигнала также является периодическим продолжением спектра аналогового сигнала. Для исключения искажений спектра (наложения спектров боковых периодов на главный период) предельные частоты сигнала должны быть меньше частот Найквиста.

На рис. 4.2 приведен пример центральной части спектра дискретного сигнала при ?x=1 и ?y=1.

В случае прямоугольной дискретизации:

, det = ?х?у, (4.13)

. (4.14)

Интерполяция дискретных сигналов. Для сигнала с ограниченным спектром изменением матрицы дискретизации можно подобрать матрицу периодичности таким образом, чтобы в правой части выражения (4.11) не было перекрытия спектров. Тогда для значений по точкам ^T области С главного периода спектра выражение (4.11) упрощается:

S(^T) = S_a() / |det |. (4.15)

S_a() = |det | S(^T) = |det | S(), С. (4.16)

Из выражения (4.16) следует, что при корректной дискретизации непрерывной двумерной функции ее спектр с точностью до нормировочного множителя |det | может быть восстановлен по спектру дискретной функции. Соответственно, выполнив обратное преобразование Фурье левой и правой части равенства (4.16), получим уравнение восстановления непрерывной функции по ее дискретному варианту (многомерный аналог интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона):

s_a() = s()exp(j^T (-)) d.

s_a() = s() f(-), (4.17)

где f(..) - интерполяционная функция:

f(-) = exp(j^T (-)) d. (4.18)

Все приведенные векторные уравнения могут быть обобщены на Р-мерные функции с заменой константы 4?² там, где она встречается, на (2?)^P.

Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации. В принципе, сигнал с ограниченным спектром можно представить по различным растрам дискретизации. Выбор растра обычно производят из условия минимальной плотности отсчетов на плоскости, т.е. минимизацией величины |det|, при котором обеспечивается отсутствие наложений для частот анализируемых сигналов.

На практике для двумерных сигналов используют, как правило, только два варианта растров дискретизации - прямоугольный и гексагональный. Прямоугольному варианту соответствуют диагональные матрицы дискретизации и периодичности (4.13-14). Для гексагональной дискретизации, пример которой приведен на рис. 4.1, в частном случае при ?t = ?х каждый отсчет располагается на равном расстоянии от шести ближайших отсчетов, при этом матрицы дискретизации:

, .

Допустим, имеем сигнал с частотным спектром, ограниченным круговой областью частот ?_r:

S_a(?_х,?_у) = 0 при ?_х²+?_у² > ?_r².

Круговая область частот вписывается без перекрытий в квадрат со стороной 2?_r или в шестиугольник со стороной 2?_r/. Матрицы дискретизации:

_пр =,det = ?²/?_r²,

_гекс =,det = 2?²/(?_r²).

Поскольку плотность отсчетов пропорциональна 1/|det|, то отсюда следует, что для представления одного и того же сигнала гексагональный растр дискретизации требует на 4% меньше отсчетов по сравнению с прямоугольным. Эффективность "гексагональной" матрицы возрастает при увеличении размерности сигнала. Так, при 4-мерном сигнале для "гексагональной" матрицы требуется в 2 раза меньше отсчетов, чем для "прямоугольной".

5. Многомерный спектральный анализ [9].

Периодические последовательности. Двумерная последовательность s(n,m) прямоугольно периодична, если

s_п(n,m) = s(n,n+M) = s(n+N,m)

для всех (n,m) при целочисленных значениях N и M. Минимальные значения N и M, при которых выполняется данное равенство, называют горизонтальным и вертикальным периодами функции s_п(..), которыми ограничивается прямоугольная область R_N,M главного периода, содержащая NM независимых отсчетов: 0nN-1, 0mM-1.

Последовательность s_п(n,m) с периодами N и M можно представить в виде конечной суммы (ряда Фурье) комплексных синусоид с кратными частотами:

s_п(n,m) =(1/NM)S_п(k,l) exp(j2?nk/N+j2?ml/M). (5.1)

S_п(k,l) =s_п(n,m) exp(-j2?nk/N-j2?ml/M). (5.2)

Пример.

Разложить в ряд Фурье периодический сигнал: s_п(n,m) = ?(n,m), 0n4, 0m2

(единичные импульсы с периодом: N = 5, M = 3).

S_п(k,l) =?(n,m) exp(-j2?nk/5-j2?ml/3) = 1 для всех k и l, т.е. равномерная частотная характеристика в главном диапазоне. Соответственно сам сигнал может быть записан в виде двумерного ряда Фурье:

s_п(n,m) =(1/20)exp(j2?nk/5+j2?ml/3).

Конечные последовательности. Если s(n,m) представляет собой последовательность конечной протяженности, имеющей опорную область R_N,M, то периодическую последовательность s_п(n,m) с главным периодом R_N,M можно сформировать периодическим продолжением s(n,m):

s_п(n,m) = s(n-aN,m-bM),

s(n, m) = s_п(n, m), (n, m) < R_N,M.

= 0, в остальных случаях.

Отсюда следует, что любой финитный сигнал может быть полностью определен своим периодическим продолжением и опорной областью.

Аналогично можно записать и для частотной области:

S_п(k, l) = ?_a ?_b S(k-aN, l-bM).

S(k, l) = S_п(k, l), 0kN, 0lM

= 0, в остальных случаях.

Отсюда значения s(n,m) и S(k,l) можно вычислить с использованием выражений (5.1-2) путем последовательности операций:

s(n,m) ?? s_п(n,m) ? S_п(k,l) ? S(k,l).

Практически это означает, что для получения ДПФ последовательности конечной протяженности достаточно из выражений (5.1-2) для рядов Фурье убрать знак периодичности, при этом следует помнить, что вычисление отсчетов s(..) вне опорной области приведет к вычислению значений не отсчетов s(..), а отсчетов s_п(..) периодического продолжения сигнала s(..).

Таким образом:

1. Дискретизация сигнала в пространственной области вызывает периодизацию частотного спектра сигнала.

2. Дискретизация частотного спектра сигнала вызывает периодизацию его пространственного представления.

3. Прямое и обратное ДПФ сигнала ограниченной протяженности автоматически означает периодизацию как его спектра, так и его пространственного представления.

4. Сигналы, ограниченные в пространстве, можно точно отобразить отсчетами их фурье-преобразования.

5. Частотное представление сигнала с ограниченным спектром обратным фурье-преобразованием может быть точно переведено в пространственную область.

6. Ограниченность как пространственного сигнала, так и его спектра является обязательным условием корректного ДПФ, т.к. в противном случае периодизация сигнала может привести к искажению его спектрального и пространственного представления.

Многомерные последовательности. Определение ДПФ для Р-мерной последовательности с опорной областью R_P = {: 0n_iN_i-1, i=1,2,3, ... ,P} производится введением диагональной матрицы значений N_i:

=,

при этом P-мерное ДПФ записывается в виде:

S() =s() exp(-j^T2?/). (5.3)

s() =S() exp(j^T2?/). (5.4)

Кратко рассмотрим особенности многомерных ДПФ (на примере двумерных последовательностей).

ДПФ суммы двух последовательностей с опорной областью на R_N,M равно сумме их ДПФ:

аs(n,m)+bz(n,m) ? aS(k,l)+bZ(k,l),

но при этом все ДПФ должны быть одного размера и этот размер должен быть достаточным, чтобы включить всю опорную область суммарной последовательности аs(n,m)+bz(n,m). Практически это означает, что х(..) и z(..) должны иметь одну и ту же опорную область. Опорная область каждой последовательности при необходимости дополняется нулями.

Операция свертки двух функций в пространственной области отображается операцией умножения фурье-образов функций в частотной области, однако при этом линейная свертка полных пространственных сигналов при ее вычислении через ДПФ в силу периодического продолжения пространственных функций переходит в циклическую свертку (как и для одномерных сигналов). Результат свертки зависит от периодов N и М.

Допустим, что s(n,m) имеет опорную область R_P1,P2, a h(n,m) - R_Q1,Q2. Результат линейной свертки:

s(n,m) = ?_k ?_l h(k,l) s(n-k,m-l).

Опорная область последовательности s(n,m):

0nP1+Q1-1, 0mP2+Q2-1.

Следовательно, наложения периодов результата свертки не произойдет и циклическая свертка в главном частотном диапазоне будет равна линейной свертке при опорной области ДПФ:

NP1+Q1-1, MP2+Q2-1.

Пример.

Заданы последовательности (начало координат в нижнем левом углу): s(n,m) = , h(n,m) = .

Вычислить свертку z(n,m) = s(n,m) _** h(n,m).

ДПФ размера 2 х 2 для s(n,m). S(0,0) = s(0,0) + s(1,0) + s(0,1) + s(1,1) = 2+1+1+0 = 4

S(1,0) = s(0,0) - s(1,0) + s(0,1) - s(1,1) = 2 -1+1 -0 = 2

S(0,1) = s(0,0) + s(1,0) - s(0,1) - s(1,1) = 2+1 -1 -0 = 2

S(1,1) = s(0,0) - s(1,0) - s(0,1) + s(1,1) = 2 -1 -1+0 = 0

После аналогичного вычисления H(k,l) и перемножения S(k,l)= S(k,l) H(k,l):

S(k,l) = , H(k,l)= , Z(k,l)= .

После обратного ДПФ размера 2 х 2 получим результат циклической свертки: z(n,m) = .

Дополним опорные области s(.) и h(.) до размера 4 х 4 (для исключения искажения спектра, в принципе, достаточен размер 3 х 3), и повторим вычисления:

s(n,m)= , h(n,m)= .

S(k,l)= , H(k,l)=.

S(k,l)= . s(n,m)= .

Сравнение данного результата с ДПФ размером 2 х 2 позволяет наглядно видеть эффект цикличности свертки.

В настоящее время имеются разнообразные и весьма эффективные алгоритмы ДПФ. Для прямого вычисления P-мерного ДПФ требуется (N₁N_2...N_P)² операций умножения и сложения. Для многомерного ДПФ, как и для одномерного, существуют алгоритмы быстрых преобразований Фурье. Простейший из них в двумерном ДПФ - разбиение на строки и столбцы, который мы уже рассматривали. Аналогично, Р-мерное ДПФ может заменяться Р-операциями одномерных ДПФ, при этом общее количество операций умножения и сложения сокращается.