Материал: модел2
o |
гистограмма; |
o |
объемная; |
o |
цилиндрическая; |
o |
коническая; |
o |
пирамидальная. |
Нормальное распределение N(m, σ), (σ > 0)
Среди законов распределения СВ наиболее распространённым является нормальный закон распределения. Нормальное распределение задаётся функцией плотности вероятности:
|
(x) |
|
1 |
exp |
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
||
где |
параметр m — математическое |
ожидание, |
|||
отклонение (σ ² — дисперсия) распределения. |
|
|
|||
|
(x m) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
а параметр σ — среднеквадратическое
График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е. х равному математическому ожиданию.
При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (рисунок ниже) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например, а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины
Рисунок – график функции плотности вероятности нормального ЗР
Аналитическое выражение для моделирования нормальной СВ имеет вид:
Y m |
2ln |
2 sin |
2 |
|
|
1 |
|
|
где α1 и α2 - независимые равномерно распределенные случайные числа на интервале [0; 1), m –
математическое ожидание СВ, σ – среднеквадратическое отклонение.
Алгоритм моделирования СВ состоит из следующих шагов:
1)сгенерировать α1 и α2
2)зарезервировать константу c = 2π;
3)= √−2lnα1;
4) φ =α2c ;
5)X1=r sin φ;
6)Y = m +σX1
Решение задач в пакете MATLAB
Построить функцию плотности распределения нормального закона
Функция плотности вероятности нормального закона f с математическим ожиданием Mx=0 и средним квадратическим отклонением sigma=1.
Листинг программы:
clear all |
|
close all |
|
Mx=0; |
% мат. ожижание |
sigma=1; |
% СКО |
x=Mx-3*sigma:0.1:Mx+3*sigma; |
% требуемый диапазон значений СВ |
f=normpdf(x, Mx, sigma); |
% расчет значений плотности вероятности |
figure() |
|
plot(x,f) |
% команда построение графика |
xlabel('Значения СВ') |
|
ylabel('Вероятность') |
|
Результат работы программы: |
|
Рисунок – график функции плотности вероятности нормального ЗР
Построить функцию распределения вероятностей нормального ЗР
Функция распределения вероятностей нормального закона F с математическим ожиданием Mx=0 и средним квадратическим отклонением sigma=1.
Листинг программы:
Mx=0;
sigma=1;
x=Mx-3*sigma:0.1:Mx+3*sigma; % требуемый диапазон значений СВ
F=normcdf(x, Mx, sigma); % расчет значений функции распределения figure()
plot(x,F) xlabel('Значения СВ') ylabel('Вероятность')
Результат работы программы:
Рисунок – график функции нормального ЗР
Получить выборку заданной длины псевдо-СВ распределенных по нормальному закону с помощью функций MATLAB
Генерация выборки из N=1000 псевдослучайных чисел распределенных по нормальному закону с параметрами Mx=0 и sigma=1.
Листинг программы:
% моделирование с помощью функции MATLAB
Mx=0;
sigma=1;
N=10000;
Y=normrnd(Mx, sigma, N, 1); figure()
plot(Y)
Результат работы программы:
Рисунок – график функции нормального ЗР при N=100
Рисунок – график функции нормального ЗР при N= 10000
Моделирование СВ распределенных по нормальному закону с помощью алгоритма
Листинг программы:
clear all close all Mx=0; sigma=1; N=100; c=2*pi;
a1=rand(1,N); % сгенерировать a1 размерностью N a2=rand(1,N); % сгенерировать a2 размерностью N r=sqrt(-2*log(a1));
f=a2*c; X1=r.*sin(f); Y=Mx+sigma*X1; figure() plot(Y)
xlabel('Номер элемента в выборке') ylabel('Значения СВ')
Результат работы программы:
Рисунок – график функции нормального ЗР
Анализ и сравнение результатов
Листинг программы:
% проверка результатов
[kol_Y Y2]=hist(Y,50); p=kol_Y/N;
figure()
plot(Y2,p)
title('Нормальное распределение') xlabel('Значения СВ') ylabel('Вероятность')
figure()
histfit(Y,50) % графическое представление выборки Х с помощью гистограммы title('Гистограмма нормального распределения')
m_Y = mean (Y) % вычисление мат. ожидания st_Y = std(Y) % вычисление СКО
sk_Y = skewness(Y) % вычисление коэффициента асимметрии kur_Y = kurtosis(Y) % вычисление коэффициента эксцесса
Смотрите также:
| 134126 |
| 1444 |
| 1532 |
| 1564 |
| 1804 |
| 1sma5-0at3rev1 |
| 2 Общ фарм + |
| 2270 |
| 2381 |
| 2409 |