Дипломная (вкр): Моделирование миграции и осаждения примеси на основе конвекционно-диффузионной модели

Моделирование миграции и осаждения примеси на основе конвекционно-диффузионной модели

Выпускная квалификационная (дипломная) работа

Моделирование миграции и осаждения примеси на основе конвекционно-диффузионной модели

Введение

конвекция уравнение программа двумерный

Современная цивилизация осуществляет невиданное давление на природу. Загрязнение природной среды промышленными выбросами оказывает вредное действие на людей, животных, растения, почву, здания и сооружения, снижает прозрачность атмосферы, повышает влажность воздуха, увеличивает число дней с туманами, уменьшает видимость, вызывает коррозию металлических изделий. Под загрязнением окружающей среды следует понимать изменение свойств среды (химических, механических, физических, биологических и связанных с ними информационных), происходящие в результате естественных или искусственных процессов и приводящие к ухудшению функций среды по отношению к любому биологическому или технологическому объекту. Используя различные элементы окружающей среды в своей деятельности, человек изменяет её качество. Часто эти изменения выражаются в неблагоприятной форме загрязнения. В связи с этим неоценима важность и ценность математического моделирования в экологии, позволяющего уже на ранних этапах, оценить влияние, оказываемое на внешнюю среду.

В решении подобных проблем существенную помощь может оказать построение моделей распространения загрязняющих веществ на основе уравнений переноса и диффузии с учетом характеристик атмосферы.

Исследование проблем атмосферной диффузии имеет длительную историю, однако, его результаты применяются к вопросам загрязнения атмосферы сравнительно недавно.

Этапы эволюции методов исследования отображены, например, в работе М.Е. Берлянда [1]. Применение моделей атмосферной диффузии к проблемам охраны окружающей среды получило значительное развитие в работах Г.И. Марчука [2 - 4].

В результате выполнения дипломной работы рассмотрены статические двумерные модели распространения загрязняющих примесей на фоне атмосферных процессов. Написана программа расчета и визуализации численных результатов на основе модели переноса однокомпонентных газовых примесей и аэрозолей, выбрасываемых неподвижным точечным источником. Для написания программы использованы следующие программные средства: Compaq Visual Fortran 6.5 и Maple 9.0.

1. Постановка задачи

Перенос примесей как в атмосфере, так и в воде осуществляется частицами окружающей среды, которые увлекают ее за собой. На перемещение воздушных масс оказывают влияние различные факторы, поэтому при точной постановке задач для распространения примеси приходится сталкиваться с рядом проблем. В процессе переноса примесь может претерпевать изменения, вступая в физическое и химическое взаимодействие с частицами окружающей среды и другими примесями. В дальнейшем для простоты будем рассматривать консервативные примеси, т.е. такие, которые не вступают в химические реакции с окружающей средой.

Моделирование процессов трансформации загрязнителей представляет самостоятельный интерес, в рассматриваемых задачах будет учитываться лишь естественное разложение примеси [5]. Процесс возможной коагуляции примеси (в случае распространения аэрозольной субстанции) также не рассматривается [6].

1.1 Постановка задачи миграции примеси

В работе рассматривается двумерная модель, основанная на использовании уравнения переноса с учетом диффузии загрязняющего вещества при его взаимодействии с атмосферой. Рассматриваемые примеси считаются легкими, т.е. их гравитационным оседанием можно пренебречь.

Рассматриваемое в работе уравнение, описывающее перенос и диффузию однокомпонентной примеси при постоянных метеорологических характеристиках среды и в декартовой системе координат имеет вид

,       (1.1)

где  - величина, характеризующая концентрацию ЗВ,

s - коэффициент концентрации,

n - вертикальный коэффициент диффузии,

m - горизонтальный коэффициент диффузии,

 - функция, описывающая источник загрязняющего вещества.

Для описания действия источника можно использовать -функции Дирака. Тогда функция , где  - мощность источника,  - координаты источника в данный момент времени.

Рассматривается конечная область рассеяния примеси с границей S при следующих начальных и граничных условиях:

;

,,

, .

Поскольку для нижних слоев атмосферы выполняется закон сохранения масс, к уравнениям, описывающим перенос и диффузию примеси, необходимо добавить уравнение неразрывности

.

Дискретные аппроксимации для рассматриваемой задачи строятся на базе вариационного принципа в сочетании с методом расщепления [2 - 4]. При таком подходе осуществление технологически простой реализации дискретной модели на ЭВМ.

1.2 Параметризация

При изучении различных явлений и процессов вводится ряд понятий, которые характеризуют рассматриваемое явление или процесс и могут быть заданы и определены с помощью чисел. Постановка любых экспериментов, результаты которых представляются в виде совокупности чисел, характеризующих стороны исследуемого явления, может осуществляться только на основе предварительного теоретического анализа. Для практики очень важно правильно выбрать безразмерные параметры, отражающие в наиболее удобной форме основные эффекты. Число их должно быть минимальным. Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров дает теория размерности [6].

Рассмотрим уравнение

Уравнение содержит группу параметров, характеризующих процесс распространения примеси. К числу этих параметров относятся:

-           скорость в направлении оси Ox;

-           скорость в направлении оси Oz[w]=м/с;

-           коэффициент горизонтальной диффузии ;

-           коэффициент вертикальной диффузии ;

-           коэффициент естественного распада ;

-           мощность источника выброса ;

-           координата сосредоточенного источника ;

-           координата сосредоточенного источника ;

-           концентрация примеси ;

-           ;

-           ; ;

-           ; .

Приведению к безразмерному виду подвергаются независимые параметры, затем производные. Задача считается решенной, если все безразмерные параметры выражаются через входные.

Пусть некоторые эталоны длины L, [L]=м, времени T, [T]=C и концентрации .

Тогда , , , , , .

Преобразуем уравнение

В этом уравнении все слагаемые безразмерные. Вводя обозначения , , , , , , уравнение диффузии можно представить

Установлением связей между размерными параметрами является предметом теории размерностей.

2. Модельные примеры для одномерного уравнения

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.

В качестве модельного примера рассмотрим одномерное линейное уравнение переноса

где  - концентрация вещества, k=const - скорость переноса,  - функция, описывающая источник вещества.

Краевая задача имеет следующий вид:

      (2.1)

Рассмотрим конечно-разностный метод. Обозначим как  Сформируем на области сеточную область  - совокупность узлов на прямоугольной сетке с шагами  и .

Обозначим через  и  точное и приближенное значение функции  в узле .

Обозначим как  - внутренние узлы сетки,  - пограничные узлы.

Тогда дифференциальное уравнение можно переписать следующим образом:

Будем полагать, что значения функций  и  в узлах аппроксимируются точно.

Таким образом, разностная схема для задачи (2.1) примет вид

  (2.2)

Задача (2.2) аппроксимирует на решениях задачи (2.1) и порядок аппроксимации - первый.

Рассмотрим случай одномерного диффузионного процесса

где  - концентрация вещества, k=const коэффициент диффузии  - функция, описывающая источник вещества.

Краевая задача имеет следующий вид:

              (2.3)

В области  Соответствующую сеточную область обозначим .

Явная разностная схема имеет вид

       (2.4)

Разностная схема (2.4) аппроксимирует задачу (2.3) с погрешностью первого порядка по  и второго по . Устойчивость разностной схемы выполняется при . Исходя из порядка аппроксимации и устойчивости получаем, что явная разностная схема (2.4) сходится к решению задачи (2.3).

Неявная разностная схема имеет вид

(2.5)

3. Методы решения двумерной задачи

Численное моделирование проблем распространения загрязняющих веществ проводится чаще всего на основе использования разностных схем.

Запишем поставленную в 1.1 задачу в операторном виде [4], т.е.

в области , где .

Здесь

,

где  в D при t=0.

Для решения этой задачи вводится сеточная область . Чтобы построить приближенное решение, необходимо заменить исходную дифференциальную задачу некоторой конечномерной дискретной задачей, обычно представляющей собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для компонентов вектора . Одной и той же дифференциальной задаче можно поставить в соответствие множество различных дискретных моделей, однако, далеко не все из них пригодны для практической реализации. Вопросы построения разностных схем подробно рассмотрены в [6, 7].

Аппроксимацию этой задачи проведем в два этапа. Сначала аппроксимируем ее в области  по пространственным переменным. В результате приходим к уравнению, дифференциальному по времени и разностному по пространственным переменным. В полученной дифференциально-разностной задаче в ряде случаев легко исключить решения в граничных точках области  с помощью разностных аппроксимаций граничных условий. Предполагая, что это сделано, приходим к эволюционному уравнению вида