Курсовая работа (т): Модель Леонтьева

В теории потребительского выбора предполагается, что каждый Потребитель изначально имеет свои предпочтения на некотором подмножестве пространства товаров , Это означает, что для каждой пары имеет место одно из трех отношений:

- набор х предпочтительнее у;

- набор x менее предпочтителен, чем;

x~y - для потребителя оба набора обладают одинаковой степенью предпочтения.

Отношения предпочтения обладают, по крайней мере следующими свойствами:

1) если , , то  (транзитивность);

) если х > у, то  (ненасыщаемостъ; больший набор всегда предпочтительнее меньшего).

Отношения предпочтения каждого потребителя при определенных слабых предположениях, касающихся предпочтений, можно (и удобно!) представить в форме индикатора предпочтений, т.е. такой функции полезности и(х), что из  следует и(х) > и(у) и из x~y следует и(х) = и(у). Для каждого потребителя такое представление многовариантно. Например, если и(х) - функция полезности, Сu(х), ln[u(x)] - это также индикаторы, предпочтений.

Введение функции полезности позволяет заменить отношения предпочтения привычными отношениями между числами: больше, меньше, равно.

В теории потребления предполагается, что функция полезности обладает следующими свойствами:

1)     - с ростом потребления блага полезность растет;

2)          - небольшой прирост блага при его первоначальном отсутствии резко увеличивает полезность;

3)    - с ростом потребления блага скорость та полезности замедляется;

4)         - при очень большом объеме блага его дальнейшее увеличение не приводит к увеличению полезности.

Условие 3 обычно используется в более расширительной трактовке: матрица вторых производных (матрица Гессе)

отрицательно определена.

Предельной, полезностью товара называется предел отношения приращения полезности к вызвавшему этот прирост приращению товара:

таким образом, предельная полезность показывает, насколько возрастает полезность, если товар возрастет на малую единицу.

Поверхностью безразличия называется гиперповерхность размера (n-1), на которой полезность постоянна:

,

или в дифференциальной форме:

, (1.18)

Условие (1.18) означает, что касательная к поверхности безразличия перпендикулярна градиенту полезности.

С точки зрения потребителя наличие множества наборов товаров, обладающих одинаковой полезностью (т.е. одинаковой степенью предпочтения), означает возможность замены одного набора другим равноценным набором, в том числе возможность замены одного товара другим.

Пусть в соотношении (1.18) dx_i = 0 для i = 3,…, n, тогда это соотношение примет вид

,

откуда

 (1.19)

т.е. предельная норма замены первого товара вторым равна отношению предельных полезностей первого и второго товаров. Норма замены показывает, сколько требуется единиц второго товара, чтобы заменить выбывшую малую единицу первого товара.

Бюджетным множеством называется множество тех наборов товаров, которые может приобрести потребитель, имея доход М:

,

где p = (p₁,…, p_n) - вектор-строка цен.

Модель поведения потребителя

В теории потребления предполагается, что потребитель стремится максимизировать свою полезность и единственное, что его сдерживает, - это ограниченность дохода:

 (1.20)

В задаче (1.20) предполагается, что точка максимума . Эта задача на условный экстремум сводится к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа:

.

Необходимые условия локального экстремума:

, (1.21)

,  (1.22)

эти условия действительно определяют точку максимума, поскольку матрица U отрицательно определена.

Из (1.22) видно, что потребитель при фиксированном доходе так выбирает набор x*, что в этой точке отношения предельных полезностей равны отношениям цен:

Если разрешить (1.21), (1.22) относительно х*, получим функцию спроса потребителя:

. (1.23)

Уравнение Слуцкого

Рассмотрим, как изменится спрос потребителя, определяемый моделью (1.20), если изменится цена одного из товаров.

Пусть цена n-го товара возросла на dр_n, тогда согласно (1.23) спрос на каждый товар изменится следующим образом:

, i = 1, 2,…, n,

но поскольку (1.23) - это, другая запись соотношений (1.21), (1.22), то уравнение для получим путем дифференцирования по р_п этих соотношений:

, (1.24)

,

Система из (n + 1) линейного уравнения (1.24) относительно (п + 1) неизвестного , , …,  в матричной форме запишется следующим образом (штрих означает транспортирование; р - вектор-строка цен; U - матрица Гессе; х^* - вектор-столбец спроса на товары):

. (1.25)

,

где .

Поэтому решение уравнений (1.25) в матричной форме выглядит так:

.

2. Динамические модели экономики

2.1 Модель Солоу

Модель Солоу является односекторной моделью экономического роста. В этой модели экономическая система рассматривается как единое целое, производит один универсальный продукт, который может как потребляться, так и инвестироваться. Модель достаточно адекватно отражает важнейшие макроэкономические аспекты процесса воспроизводства. Экспорт - импорт в явном виде не учитывается.

Состояние экономики в модели Солоу задается следующими пятью эндогенными переменными:

X - валовой внутренний продукт (ВВП);

С - фонд непроизводственного потребления;

I - инвестиции;

L - число занятых;

К - фонды.

Кроме того, в модели используются следующие экзогенные (заданные вне системы) показатели:

v - годовой темп прироста числа занятых;

μ - доля выбывших за год основных производственных фондов;

ρ - норма накопления (доля валовых инвестиций в валовом внутреннем продукте).

Экзогенные параметры находятся в следующих границах:   

Предполагается, что эндогенные переменные изменяются во времени (аргумент t опущен, но присутствует по умолчанию). Экзогенные показатели считаются постоянными во времени, причем норма накопления является управляющим параметром, то есть в начальный момент времени может устанавливаться управляющим органом системы на любом уровне из области допустимых значений.

Время t считается непрерывным и измеряется в годах. Для мгновенных показателей L = L(t), K = K(t) это представляется совершенно естественным, поскольку, в принципе, в любой день можно установить число занятых и путем инвентаризации - объем основных производственных фондов. Значения показателей типа потока Х = X(t), I = I(t), C = C(t) в момент t =[t] + {t} определяются в виде накопленных за год, начинающихся на {t} дней позже 1 января года [t].

Предполагается, что годовой выпуск в каждый момент времени определяется линейно-однородной неклассической прозведенной функцией

 (2.1)

Рассмотрим, как меняются ресурсные показатели за небольшой промежуток времени  Согласно определению темпа прироста

t, или

поэтому

Используя начальное условие L(0) = L₀, получаем L = L₀e^vt.

Износ и инвестиции в расчете на год равны µК∆t, I∆t, поэтому прирост фондов за это время

откуда получаем дифференциальное уравнение

Инвестиции и фонд потребления следующим образом выражаются через ВВП:

Итак, получаем следующую запись модели Солоу в абсолютных показателях:

   (2.2)

Схема функционирования экономики согласно модели Солоу приведенная на рис. 2.1. видно, что входом в систему служит число занятых L, выходом - фонд потребления С, поэтому эта система односвязная. В структуре системы имеется контур обратной связи, который образуется из нелинейного статического элемента X = F (K, L), распределительного линейного статического звена X = I + C и инерционного звена

Поскольку в системе имеется нелинейный элемент X = F (K, L), то система - нелинейная.

Поскольку

то запись модели Солоу приобретает форму в удельных показателях:

   (2.3)

Рис. 2.1. Структурная схема модели Солоу

Таким образом, каждый абсолютный или относительный показатель изменяется во времени, то есть можно говорить о траектории системы в абсолютных или относительных показателях.

Траектория называется стационарной, если показатели не изменяются во времени:

Как видно из формул (2.3), установленные фондовооруженности на постоянном уровне k^E приводит к выводу на стационарную траекторию. На стационарной траектории  поэтому

 (2.4)

Поскольку функция F (K, L) - неоклассическая, то  Если еще задано условие  то уравнение (2.4) будет иметь единственное ненулевое решение  

2.2 Модель Эванса

В модели рассматривается рынок одного товара. Время t считается непрерывным. Обозначим через   совокупный спрос и предложение в момент t, а через цену товара в этот момент.

В модели постулируется, что спрос и предложение является линейными функциями цены:

   (спрос с ростом цены убывает);

   (предложение с ростом цены растет).

Кроме того, естественно считать  (при нулевой цене спрос превышает предложение!).

Основное предположение модели состоит в том, что изменение цены пропорционально превышению спроса над предложением:

  (2.5)

Согласно предложению (2.5) взаимодействие потребителей и производителей происходит таким образом, что отражающая это взаимодействие цена непрерывно приспосабливается к ситуации на рынке: в случае превышения спроса над предложением - возрастает, в противоположном случае - падает.