Материал: mtg_theme 3

Тема 3. Криві на поверхні еліпсоїда

Отже, при B2 B1 буде виконуватися умова (а); нормальні перерізи (криві АаВ і ВbА) при цьому розташуються так, як показано на рис 3.1, тобто крива ВbА північніше кривої АаВ.

Візьмемо площину, що включає нормаль Аn1 і проходить через точку В. Очевидно, що ця площина є нормальною площиною в точці А, що проходить через точку В. На поверхні еліпсоїда ця площина утворює криву АаВ, що називається прямим нормальним перерізом в точці А на точку В і оберненим нормальним перерізом в точці В на точку А.

Інша площина, що включає нормаль в точці B і проходить через точку А, утворює на поверхні еліпсоїда криву ВbА – прямий нормальний переріз з точки B на точку A , що не збігається з кривою АаВ.

Ці дві криві АаВ і ВbА називаються взаємними нормальними перерізами.

Так, між двома точками еліпсоїда A і В в загальному випадку проходять два нормальних перерізи:

АаВ - називається прямим нормальним перерізом для точки А і оберненим нормальним перерізом для точки В;

ВbА - називається прямим нормальним перерізом для точки В і оберненим нормальним перерізом для точки А.

Знайдемо кут 1 , під яким видно відрізок n1n2 із точки А (див. рис.3.1). Із прямокутного трикутника

nn1n2 , в якому n1n2 є гіпотенузою, знайдемо

Аналогічним чином можна знайти і кут 2

З формул (3.1) та (3.2) для відрізка n1n2 отримаємо

Вираз для кута між взаємними нормальними перерізами ВbА і АаВ виводиться у чисельних класичних

s

підручниках з вищої геодезії. З точністю до малих величин третього порядку e2 3 , де N m , запишемо

Із формули (3.6) слідує, що величина А переходить в нуль двічі: при А =0 і при А = 90 . Іншими словами,

взаємні нормальні перерізи збігаються, якщо пункти лежать на одному меридіані або на одній паралелі. Цей висновок справедливий лише з тією точністю, з якою виведена формула (3.6).

Крім кута між взаємними нормальними перерізами, розглянемо також лінійну розбіжність між ними, яка,

очевидно, буде максимальною для середніх точок дуг АаВ та ВbА (рис. 3.2).

Формула для обчислення найбільшої лінійної розбіжності між перерізами АаВ і ВbА буде наступною

Тема 3. Криві на поверхні еліпсоїда

Отже, вимірювані в тріангуляції горизонтальні кути на поверхні еліпсоїда є кутами між прямими нормальними перерізами в даній точці.

Якщо взяти трикутник, у вершинах якого виміряні кути, то внаслідок неспівпадання прямих і обернених нормальних перерізів, отримана із вимірювань фігура буде мати шість сторін (рис.3.4).

Очевидно, що неспівпадання прямих і обернених нормальних перерізів приводить до того, що на поверхні еліпсоїда виміряні горизонтальні кути не утворюють замкнутого трикутника (виміряні кути на кожному пункті показані дугою).

Рис. 3.4. Розходження взаємних нормальних перерізів у трикутнику

Щоб не мати справи з подвійним характером нормальних перерізів, геометричні фігури на поверхні еліпсоїда можна утворювати або хордами нормальних перерізів, або геодезичними лініями.

Застосування хорд еліпсоїда хоча і в деяких часткових випадках приводить до виразів в замкнутій формі

(замість нескінченних рядів), проте хорда не володіє таким узагальненням як геодезична лінія для розв'язування задач сфероїдної геодезії.

Отже, подвійний характер нормальних перерізів послужив однією із головних причин для утворення фігур на поверхні еліпсоїда із геодезичних ліній.

3.2. Геодезичиа лінія

Геодезичні лінії мають велике значення в сфероїдній геодезії. Якщо на площині розв'язування геодезичних задач проводиться з відрізками прямих та прямолінійними фігурами, а на сфері задачі розв'язуються з лініями великих кіл, то на еліпсоїді мають справу з геодезичними лініями та фігурами, що ними утворені.

Теорія геодезичних ліній розвинулась в зв'язку з широким застосуванням градусних вимірювань, значну роль в яких грали геодезичні трикутники. Дослідження, проведені з цього питання Клеро, Лежандром, Гауссом та іншими вченими, виявили властивості геодезичних ліній на різних поверхнях, в тому числі і на поверхні еліпсоїда обертання. Геодезична лінія на поверхні в межах деякої обмеженої області володіє наступними властивостями, аналогічними властивостям відрізку прямої на площині:

Геодезична лінія є найкоротшою відстанню між двома точками.

Через дві точки поверхні можна провести тільки одну геодезичну лінію.

Через задану точку поверхні в заданому напрямі проходить тільки одна геодезична лінія.

На гладкій поверхні матеріальна точка рухається за інерцією вздовж геодезичної лінії; натягнута на такій поверхні нитка розташовується по дузі геодезичної лінії.

Авзагалі, якщо стична площина в будь-якій точці лінії буде нормальна до поверхні, то така лінія і буде для даної поверхні геодезичною.

Площину, що вміщує дотичну до кривої в даній точці і точку на кривій, нескінченно близьку до точки

дотику, називають стичною площиною (див. рис.1.8).