Материал: mtg_theme 3

Тема 3. Криві на поверхні еліпсоїда

Через точку А та нормаль в точці С проведемо площину. Поскільки в цій площині буде лежати хорда АВ,

то площина пройде через В. На рис. 3.6 переріз цією площиною поверхні еліпсоїда показано кривою AcCcB .

Очевидно, ця площина буде площиною прямого нормального перерізу із точки С на точки А і В. Оскільки точка

С розташована на північ від А, то прямий нормальний переріз в А, що з’єднує цю точку з С , зобразиться

кривою AaC , яка буде розташовуватись на поверхні еліпсоїда південіше, ніж обернений переріз CcA .

Аналогічно, оскільки точка В розташована на північ від С, то прямий нормальний переріз в В, що з’єднує точки

В і С, зобразиться кривою BbC , яка буде розташована північніше нормального перерізу CcB . З’єднавши хордами точки А і С та С і В, знайдемо на цих хордах середні точки і в них проведемо нормалі до поверхні еліпсоїда (нехай перетини цих нормалей з поверхнею еліпсоїда будуть відповідно в D і E).

Проведемо нормальну площину в D через А і в той же час через точку С. На поверхні еліпсоїда отримаємо криву AdDdC , що буде мати нормаль в точці D. Аналогічно отримаємо криву CcEeB , що має нормаль в точці E. Очевидно, прямий нормальний переріз в А, що з’єднує цю точку з D, зобразиться кривою

AaD ; прямий нормальний переріз в С, що з’єднує цю точку з D, зобразиться кривою CcD ; прямий нормальний переріз в В, що з’єднує цю точку з Е, зобразиться кривою BbE , а прямий нормальний переріз в С,

що з’єднує цю точку з Е, зобразиться кривою CcE . З’єднавши послідовно хордами А і D, D і С, C і E, E і B,

проводимо нормалі до поверхні еліпсоїда в серединах цих хорд і відмічаємо точки F, G, H, J перетину цих нормалей з поверхнею еліпсоїда. Подальші дії аналогічні вище наведеному.

Якщо представити собі продовження цього процесу до нескінченності, то в границі нього ми прийдемо до елементарних хорд, кінці яких дадуть на поверхні еліпсоїда неперервну криву, що розташована між точками

А і В . При цьому площина, що проходить через нормаль до еліпсоїда, яка проведена із середини деякої елементарної хорди і через саму хорду, перетвориться в стичну площину отриманої кривої в точці, що відповідає середині даної хорди. Тому побудовані точки утворять неперервну криву AFDGCHEJB , яка і буде геодезичною лінією між А і В , оскільки виконана умова, що визначає геодезичну лінію: в кожній точці її нормаль до поверхні буде лежати в стичній площині кривої.

З достатньою точністю можна прийняти, що при азимутах, не близьких до 90 або 2700 , нормальний переріз, що проходить через нормаль до поверхні еліпсоїда, яка проведена із середини хорди А і В, ділить кути між взаємними нормальними перерізами навпіл. Оскільки переріз AcCcB (рис. 3.6) ділить навпіл кути при А і В між кривими AaB і BbA , переріз AdDdC ділить навпіл кути при А і С між кривими AaC і AcC , то скористаємось вказаною властивістю кривих на поверхні еліпсоїда для виводу кута між геодезичною лінією і прямим нормальним перерізом. Якщо - кут між взаємними нормальними перерізами в точці А, тобто між кривими AaB і BbA , то - кут першого елемента геодезичної лінії в А з прямим нормальним перерізом на В,

тобто з кривою AaB (рис. 3.7).

B

b

Рис. 3.7. Кути між нормальними перерізами та геодезичною лінією.

a

A

Будемо мати такі кути між кривими:

Тема 3. Криві на поверхні еліпсоїда

поправку називають поправкою за різницю азимутів прямого нормального перерізу геодезичної лінії. Величина цієї поправки є незначною. Так при відстані між пунктами в 200км в найгіршому випадку (Ві =0 і А=45°)

величина складає 0.12", а при відстанях до З0км вона є меншою 0.001". Тому дана поправка, в звичайних за розмірах трикутниках тріангуляції, для одиночних передач азимутів, переважно, не вводиться. Але при послідовному обчисленні азимутів сторін тріангуляції по ланці неврахування цієї поправки може привести до систематичної похибки в азимуті сторони останнього трикутника ланки тріангуляції. Отже, поправку слід враховувати при математичному опрацюванні результатів кутових вимірювань в державних мережах 1 класу,

що створюються методом тріангуляції.

B

BA

BC

Рис. 3.8. Геометричне трактування поправки за перехід від прямих нормальних перерізів до геодезичних ліній.

A

AC

CB

CA

Двоїстість нормальних перерізів викликає необхідність також у виправленні виміряних напрямів поправкою за висоту пункту, що спостерігається. Приведемо геометричний зміст даної поправки.

Нехай на рис.3.9 A і B - два суміжних пункти тріангуляції. Якщо вертикальна вісь кутомірного приладу направлена вздовж нормалі до еліпсоїда, то висота пункту A над еліпсоїдом не вплине на величину вимірюваного кута.