Материал: Нагрев и нагревательные устройства. курс лекций. Гольцев А.М., Бойко А.Ю

Наибольшая разность температур поверхности и центра наблюдается в начала нагрева, когда металл недостаточно пластичен.

Поэтому и температуры напряжения опасны в области более низких температур нагрева (для стали в области температур до 500С). При более высоких температурах благодаря возросшей пластичности, возникающие температурные напряжения не опасны.

- переменная температура металла от до ;

- изменение температуры заготовки.

Считая, что сообщенное заготовке тепло идет на увеличение энтальпии, можно эти величины приравнять и определить время нагрева.

(59)

Для упрощения расчета определяется отношение массы заготовки к площади тепловоспринимающей поверхности, масса заготовки выражается через объем и плотность.

Для цилиндра: при всестороннем нагреве:

; (60)

для пластины: при двустороннем нагреве:

; (61)

для шара:

, (62)

где , или - глубина прогрева при всестороннем нагреве заготовки.

Обозначив К – коэффициент формы, который для пластичны равен 1, для цилиндра - , для шара - , а глубину прогрева - , получим обобщенное выражение для определения времени нагрева

, (63)

где

. (64)

7.4. Определение времени нагрева решением уравнения теплопередачи теплопроводностью.

Общего решения для любого случая нагрева получить не удается. Получены решения для различных условий нагрева при , при , , , где

- удельный тепловой поток теплопроводности;

- скорость изменения температуры от до поверхности заготовки.

Здесь рассматривается случай нагрева заготовки в печи с постоянной температурой.

Уравнение теплоотдачи

(65)

За начало отсчета температур примем температуру печи. Тогда всякая температура будет выражаться . Уравнение теплопередачи будет выражаться

(66)

Представим , где

, а , (67)

и - независимые функции и .

Тогда уравнение теплопередачи теплопроводностью превратится в уравнение с простыми производными

, (68)

или

(69)

Равенство двух функций независимых переменных возможно, если эти функции есть постоянные величины.

Пусть

, (70)

где - постоянная величина, знак которой будет определен ниже, то есть

(71)

и . (72)

Решение 1 – го уравнения:

(73)

(74)

(75)

Знак “+” означает увеличение с увеличением времени и наоборот, знак ”-” – уменьшение с увеличением . Но возрастание приводит к увеличению , то есть увеличению , что противоречит смыслу нагрева. Следует принять знак ”-”

. (76)

Решение 2 – го уравнения:

Положим , тогда

и (77)

Подставим в исходное уравнение

(78)

Следовательно, и , то есть

(79)

Частные решения уравнения имеют вид

, (80)

Общее решение для будет

(81)

или поделив на :

(82)

Для определения произвольных постоянных нужны начальные условия и граничные условия.

Начальные: при , , так как .

Граничные при , , при , , где - температура поверхности заготовки.

Рис. 9.

(83)

При , , а так как , то - должно быть равно нулю, следовательно

и