в смешанной области ?? = {(??, ??): ?? < ?? < ??, ??? < ?? < +?}, ?? > ??.

Примем следующие обозначения: ??_?? = {(??, ??):?? < ?? < ??, ??? < ?? < ??}

- множество функций ??(??, ??), непрерывных в ??_?? и принадлежащих к классу

??^??(??⁺_??) ? ??^??(??^?_??) ? ??^??(??_??) и таких, что разность ??_??(??, ??) ? ??_??(??,??) ? ??(??, ??) двух его любых элементов удовлетворяют условиям:

1) .

Под решением уравнения (7) в области ?? будем понимать функцию ?? = ??(??, ??) со следующими свойствами: 1) ?? ? ??(??^±);

2)

Задача Дирихле: найти решение ??(??, ??) уравнения (7) в области ??, удовлетворяющее краевым условиям: ??(??, ??) = ??(??), ??(??,??) = ??(??), ??? ? ?? < +?; ??(??, ???) = ??(??); ?? ? ?? ? ??, ?????? ?? = ?? равномерно по ?? ? [??, ??], где ??(??), ??(??) ? ??((??, ?]), ??(??) ? ??>+?

.

Имеет место

Теорема. Задача Дирихле для уравнения (7) в области ?? имеет не более одного решения.

Рассматривается уравнение Геллерстедта (7) в области ?? = ??⁺ ? ??^? ? ??, где ??⁺ - есть полуплоскость ?? > ??, а ??^? = ?? ? (?? < ??) - прямоугольник, обладающий тем свойством, что характеристики уравнения (7) проходят через его вершины, ?? = (??, ??).

Изучена задача Дирихле: найти функцию ?? ? ??(??, ??) со следующими свойствами: 1) ?? ? кроме, быть может, характеристик уравнения (7); 3) ?? удовлетворяет уравнению (7) в ??⁺ ? ??^? и краевым условиям:

??(??, ??) = ??_??(??), ??(??, ??) = ??_??(??)

??(??, ???) = ??(??), ?? ? ?? ? ??,

где .

Справедлива теорема: в области ?? не может существовать более одного решения задачи Дирихле.

Модельная задача 7.Рассматривается уравнение Трикоми:

????????|??|??_???? + ??_???? = ?? (8)

в области ?? = {(??, ??):?? < ?? < +?, ??? < ?? < ??}, ??, ?? > ??.

Введем обозначения:

??_?? = {(??, ??):??? < ?? < ??, ??? < ?? < ??}, ??_??^± = ??_?? ? (±?? > ??),

где ?? ? ?????????? > ??; ??(??) есть множество функций ??(??, ??), непрерывных в и принадлежит к классу , удовлетворяющее условиям: 1) равномерно по

равномерно по ?? ? [???, ??];

3) .

Под решением уравнения (8) в области ?? при ?? ? ?? будем понимать функцию ?? ? ??(??, ??) со следующими свойствами:

1) .

Для уравнения (9) изучена задача Дирихле: найти решение ??(??,??) уравнения (9) в области ?? при ?? ? ??, удовлетворяющее краевым условиям: ??(??, ??) = ??_??(??), ??(??,???) = ??_??(??), ?? < ?? < +?, ?????? ??(??, ??) = ?? равномерно по ?? ? [???, ??], где ??_??(??) ? (??, +?),

??>±? ?????? ??_??(??) = ??, ?? = ??, ??.

??>±?

Имеет место теоремы

+ ?

Теорема 1. Пусть: 1) ?? ? ??(??); 2) ??_??, ??_??,??_????, ??_????,??_???? ? ?? (?? ? ?? ).

Тогда задача Дирихле имеет только одно решение.

+ ?

Теорема 2. Пусть: 1) ?? ? ??(??); 2) ??_??, ??_??,??_????, ??_????,??_???? ? ?? (?? ? ?? ) ;

3)

4) 5) числа ?? и ?? таковы, что для любых фиксированных значений ?? имеет место неравенство

5)

.

Тогда решение ??(??,??) задачи Дирихле для уравнения Трикоми (8) в области ?? существует, единственно и представимо в виде

,

где ??(??, ??) = ??⁺(??, ??) при ?? > ??; ??(??, ??) = ??^?(??, ??) при ?? < ??;

.

Модельная задача 8. В бесконечной призматической области ?? = {(??, ??, ??): ?? < ?? < ??, ??? < ?? < ??, ?? < ?? < +?} рассматривается уравнение

????????|??|^??(??_???? + ??_????) + ??_???? = ??, (9)

где ??, ??, ?? ? ?????????? > ??.

Обозначим через ??⁺ = ?? ? (?? > ??), ??^? = ?? ? (?? < ??).

Для уравнения (10) изучена задача Дирихле:

найти решение ?? ? ??(??,??, ??) уравнения (9) в области ?? со следующими свойствами: 1) ?? ? ??(??) ? ??^??(??) ? ??^??(??⁺ ? ??^?); 2) V удовлетворяет краевым условиям: ??(??, ??, ??) = ??_??(??, ??), ??(??,???, ??) = ??_??(??,??), ?? ? ?? ? равномерно относительно (??, ??) ? ?? ? {?? = ??}.

Доказывается, что методом интегрального преобразования Фурье задача Дирихле для уравнения (9) эквивалентно редуцируется к плоской задаче Дирихле для уравнения

????????|??|^????_???? + ??_???? ? ??^??????????|??|^???? = ?? (10)

в области ?? = {(??, ??): ?? < ?? < ??, ??? < ?? < ??}, причем ??⁺ = ?? ? (?? > ??), ??^? = ?? ? (?? < ??).

Задача Дирихле. Найти решение ?? ? ??(??, ??; ??) уравнения (10) в области ??, обладающее следующими свойствами: 1) ?? ? ??(??); 2) ?? ? ??^??(??) ? ??^??(??⁺ ? ??^?) за исключением, быть может, характеристик уравнения (10); 3) ??_?? ? ??_??(??, ??) равномерно по x при ?? ? (???, ??) и существует предел при ; 4) и удовлетворяет краевым условиям:

,

Имеет место теоремы

Теорема 1. Задача Дирихле для уравнения (10) в области D имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда для всех и заданных постоянных имеет место неравенство

Теорема 2. Пусть: 1) для всех и постоянных величин имеет место неравенство (11); 2) функции - кусочно-непрерывные функции на отрезке , причем , ; 3) для заданных постоянных существует такое , что при имеет место оценка . Тогда существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (10) в области D.

Теорема1. Задача Дирихле для уравнения (12) в области ?? имеет не более одного решения тогда и только тогда, когда для всех ??, ?? ? ? выполнено неравенство

,

где .

Теорема 2. Пусть: 1) постоянные таковы, что для всех имеет место неравенство

Тогда существует единственное решение задачи Дирихле для уравнения (12) в области .

Модельная задача 10. Рассматривается уравнение

в бесконечной цилиндрической области трехмерного пространства , ограниченной поверхностями:

,

где Изучена задача Дирихле: найти решение уравнения (13) в области со следующими свойствами:

3) удовлетворяет краевым условиям:

равномерно относительно

Дирихле для уравнения (13) эквивалентно редуцируется к плоской задаче Дирихле для уравнения

Теорема. Пусть: 1) существуют постоянные величины такие, что для всех имеет место неравенство

ЛИТЕРАТУРА

1. Bourgin P.G., Duffin R.The Dirichlet problem the virbating string equation. Bull. Amer. Math. Soc., 1939, 45, №12 , p. 851-858.

2. Бицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа. Докл. АН СССР, 1953, т. 122, №2, с. 167-170.

3. Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области. Диф. уравнения, Минск, 1970, т.6, №1, с. 190 - 191.

4. Хачев М.М. Первая краевая задача для линейных уравнений смешанного типа в канонических областях. // Монография. Нальчик: Изд-во "Эльбрус", 1998. - 170 с.